Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

Enunciado

Calcula las dos integrales siguientes:

a)

\displaystyle\int 2x\cos(2x + 5)\,dx

. (1,25 puntos)

b)

\displaystyle\int \frac{x + 495}{x^2 - 2025}\,dx

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\displaystyle\int 2x\cos(2x + 5)\,dx = x\sin(2x + 5) + \frac{\cos(2x + 5)}{2} + C

.

b)

\displaystyle\int \frac{x + 495}{x^2 - 2025}\,dx = 6\ln|x - 45| - 5\ln|x + 45| + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es el producto de un polinomio por un coseno: integración por partes, derivando el polinomio ( $u = 2x$ ) e integrando el coseno ( $dv = \cos(2x + 5)\,dx$ ). Tras un paso queda una integral inmediata.
b) Es una función racional con el numerador de menor grado que el denominador. Como $2025 = 45^2$ , el denominador se factoriza: $x^2 - 2025 = (x - 45)(x + 45)$ , con dos raíces reales simples. Se descompone en fracciones simples y cada una da un logaritmo.

Desarrollo

a) Elección de las partes.

u = 2x \;\Rightarrow\; du = 2\,dx \qquad dv = \cos(2x + 5)\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{\sin(2x + 5)}{2}

Fórmula de integración por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

\int 2x\cos(2x + 5)\,dx = 2x \cdot \frac{\sin(2x + 5)}{2} - \int \frac{\sin(2x + 5)}{2} \cdot 2\,dx = x\sin(2x + 5) - \int \sin(2x + 5)\,dx

Integral que queda.

\int \sin(2x + 5)\,dx = -\dfrac{\cos(2x + 5)}{2}

, así que

\int 2x\cos(2x + 5)\,dx = x\sin(2x + 5) + \frac{\cos(2x + 5)}{2} + C

Comprobación derivando:

\sin(2x + 5) + 2x\cos(2x + 5) - \sin(2x + 5) = 2x\cos(2x + 5)

✓.

b) Factorización del denominador.

2025 = 45^2

, luego

x^2 - 2025 = (x - 45)(x + 45)

.

Descomposición en fracciones simples.

\frac{x + 495}{x^2 - 2025} = \frac{M}{x - 45} + \frac{N}{x + 45} \;\Longrightarrow\; x + 495 = M(x + 45) + N(x - 45)

Con $x = 45$ : $540 = 90M \;\Rightarrow\; M = 6$ .
Con $x = -45$ : $450 = -90N \;\Rightarrow\; N = -5$ .

\frac{x + 495}{x^2 - 2025} = \frac{6}{x - 45} - \frac{5}{x + 45}

Integración.

\int \frac{x + 495}{x^2 - 2025}\,dx = 6\ln|x - 45| - 5\ln|x + 45| + C

Comprobación.

\dfrac{6}{x - 45} - \dfrac{5}{x + 45} = \dfrac{6(x + 45) - 5(x - 45)}{x^2 - 2025} = \dfrac{x + 495}{x^2 - 2025}

✓.

Consejo

En las partes, deriva el polinomio y integra la trigonométrica: al revés, la integral se complica. Y no olvides el factor $\frac{1}{2}$ que sale al integrar $\cos(2x + 5)$ .

Pon los valores absolutos dentro de los logaritmos y la constante de integración: son detalles que el corrector mira. Derivar el resultado tarda un minuto y te dice si está bien.