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Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

Enunciado

En la empresa «MARKOAK» fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de

0{,}3\ \text{m}^2

. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de 12 €/m y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de 10 €/m. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible. Calcula:

a) cuáles deben ser las medidas de los cuadros para pagar el mínimo posible; (2 puntos)

b) a cuánto ascenderá la factura. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Los cuadros deben medir 0,5 m de ancho (lados horizontales) y 0,6 m de alto (lados verticales).

b) Cada marco cuesta 24 € y la factura asciende a

274 \cdot 24 = 6576

€.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

x

a la longitud de los lados horizontales y

y

a la de los verticales (en metros). Un marco tiene dos lados horizontales y dos verticales, así que su coste es

C = 12 \cdot 2x + 10 \cdot 2y

La condición que liga las variables es la superficie,

xy = 0{,}3

. Despejando

y

queda una función de una sola variable, que se minimiza con la derivada. Como todos los cuadros son iguales, minimizar el coste de un marco es minimizar el del pedido entero; la factura es ese mínimo por 274.

Desarrollo

a) Función a minimizar. El coste de un marco es

C(x, y) = 24x + 20y

Condición.

xy = 0{,}3 \;\Longrightarrow\; y = \dfrac{0{,}3}{x}

, con

x > 0

.

Función de una variable.

C(x) = 24x + 20 \cdot \frac{0{,}3}{x} = 24x + \frac{6}{x}, \qquad x > 0

Puntos críticos.

C'(x) = 24 - \frac{6}{x^2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{1}{2}

Como

x

es una longitud, solo vale

x = \frac{1}{2} = 0{,}5

m.

Es un mínimo.

C''(x) = \frac{12}{x^3} \;\Longrightarrow\; C''\left(\tfrac{1}{2}\right) = 12 \cdot 8 = 96 > 0

Es un mínimo relativo y, como es el único punto crítico en

(0, +\infty)

C

es continua ahí, es el mínimo absoluto.

Medidas.

x = 0{,}5\ \text{m}, \qquad y = \frac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6\ \text{m}

b) Coste de un marco.

C\left(\tfrac{1}{2}\right) = 24 \cdot 0{,}5 + \frac{6}{0{,}5} = 12 + 12 = 24

es decir, 24 € por marco.

Factura.

274 \cdot 24 = 6576

, es decir, 6576 €.

Consejo

Lo que más se falla aquí es el planteamiento: un marco tiene dos lados de cada tipo. Haz un dibujo del rectángulo, rotula $x$ e $y$ y escribe la función de coste antes de derivar.

Descarta $x = -\frac{1}{2}$ diciendo por qué, justifica que es un mínimo (segunda derivada) y da el resultado con unidades: el criterio de corrección reserva puntos para las unidades.

Paso 1 de 3

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