Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

a) Derivada.$$f'(x) = 4x^3 + 3Ax^2 + 2x + B$$Condiciones de tangente horizontal.$$f'(0) = B = 0$$$$f'(1) = 4 + 3A + 2 + B = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 3A = 0 \;\Longrightarrow\; A = -2$$b) La función y su derivada. Con $A = -2$ y $B = 0$:$$f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2, \qquad f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x$$Factorización. Sacando factor común $2x$ y resolviendo $2x^2 - 3x + 1 = 0$ ($x = \frac{3 \pm 1}{4}$, es decir, $x = 1$ y $x = \frac{1}{2}$):$$f'(x) = 2x\,(2x^2 - 3x + 1) = 4x\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 1)$$Los ceros de $f'$ son $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$ y $x = 1$ (los dos de a) y uno más).

Signo de $f'$. $f$ es un polinomio, definido y derivable en todo $\mathbb{R}$. Probamos un valor en cada intervalo:Extremos (no se piden, pero ayudan a comprobar): mínimos relativos en $x = 0$ y $x = 1$, donde $f(0) = f(1) = 0$, y máximo relativo en $x = \frac{1}{2}$, con $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16}$. De hecho $f(x) = x^2(x - 1)^2 \ge 0$, que encaja con dos mínimos en 0.