Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Se consideran la recta

r

que pasa por los puntos

A(-4, 4, 1)

B(1, 0, -1)

y la recta

s

que pasa por los puntos

C(-2, 7, -1)

D(2, 3, -1)

.

a) Calcula la posición relativa de la recta

r

con respecto de la recta

s

. (1,5 puntos)

b) En caso de ser paralelas o cruzarse, calcula la distancia entre ambas. Si se cortan, calcula el punto de intersección. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\vec v_r = (5, -4, -2)

\vec v_s = (4, -4, 0)

no son proporcionales y

[\vec v_r, \vec v_s, \overrightarrow{AC}] = -32 \ne 0

: las rectas se cruzan.

b)

d(r, s) = \dfrac{32}{12} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para la posición relativa de dos rectas se miran sus vectores directores y un vector que una un punto de cada una:

si los directores son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes;
si no lo son, se cortan o se cruzan: se distingue con el producto mixto $[\vec v_r, \vec v_s, \overrightarrow{AC}]$ . Si es 0, los tres vectores son coplanarios y las rectas se cortan; si no, se cruzan.

Si se cruzan, la distancia es el volumen del paralelepípedo (el producto mixto en valor absoluto) dividido por el área de su base (

|\vec v_r \times \vec v_s|

Desarrollo

a) Vectores directores.

\vec v_r = \overrightarrow{AB} = (1 + 4,\ 0 - 4,\ -1 - 1) = (5, -4, -2)

\vec v_s = \overrightarrow{CD} = (2 + 2,\ 3 - 7,\ -1 + 1) = (4, -4, 0)

No son paralelas ni coincidentes. Las componentes no son proporcionales (

\frac{5}{4} \ne \frac{-4}{-4} = 1

), así que las rectas se cortan o se cruzan.

Vector entre las rectas.

\overrightarrow{AC} = (-2 + 4,\ 7 - 4,\ -1 - 1) = (2, 3, -2)

.

Producto mixto.

[\vec v_r, \vec v_s, \overrightarrow{AC}] = \begin{vmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 4 & -4 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 5(8 - 0) + 4(-8 - 0) - 2(12 + 8) = 40 - 32 - 40 = -32

Conclusión. Como el producto mixto no es 0, los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan.

Comprobación por paramétricas.

r

(-4 + 5\lambda,\ 4 - 4\lambda,\ 1 - 2\lambda)

;

s

(-2 + 4\mu,\ 7 - 4\mu,\ -1)

. Igualando la

z

1 - 2\lambda = -1

\lambda = 1

; entonces

1 = -2 + 4\mu

\mu = \frac{3}{4}

, y

0 = 7 - 4\mu

\mu = \frac{7}{4}

: incompatible, no hay punto común ✓.

b) Producto vectorial de los directores.

\vec v_r \times \vec v_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 5 & -4 & -2 \\ 4 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \big(0 - 8,\ -8 - 0,\ -20 + 16\big) = (-8, -8, -4)

|\vec v_r \times \vec v_s| = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12

Distancia entre las rectas.

d(r, s) = \frac{\left|[\vec v_r, \vec v_s, \overrightarrow{AC}]\right|}{|\vec v_r \times \vec v_s|} = \frac{|-32|}{12} = \frac{8}{3} \ \text{u}

Consejo

No basta con ver que los directores no son proporcionales: eso solo descarta paralelas y coincidentes. Para decidir entre «se cortan» y «se cruzan» necesitas el producto mixto (o ver que el sistema de las paramétricas no tiene solución), y el corrector lo puntúa aparte.

En la fórmula de la distancia, el denominador es el módulo de $\vec v_r \times \vec v_s$ , con los dos directores: un desliz típico es escribir $\vec v_r \times \vec v_r$ , que vale cero.