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Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

Enunciado

Se consideran las siguientes rectas:

r_1 \equiv \begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases}

Calcula la ecuación del plano que contiene a

r_1

y pasa por el punto de intersección del plano

\pi \equiv x - 3y - 2z + 7 = 0

y la recta

r_2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

El punto de corte es

P = (0, 1, 2)

y el plano pedido es

4x - 11y + 7z - 3 = 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos tareas encadenadas:

El punto $P$ donde $r_2$ corta a $\pi$ : se sustituye la paramétrica de $r_2$ en la ecuación de $\pi$ y sale el valor de $t$ .
El plano que contiene a $r_1$ y pasa por $P$ . Como $r_1$ viene dada como corte de dos planos, lo más rápido es el haz de planos que la contiene: todos los planos de la forma $(x + y - 2z) + \lambda(2x - 3y + z - 1) = 0$ . Se elige el $\lambda$ que hace que el plano pase por $P$ .

(También vale tomar dos puntos de

r_1

y hallar el plano por tres puntos.)

Desarrollo

Punto de corte de $r_2$ con $\pi$ . Sustituimos

x = 3t

y = 1 - 2t

z = 2 + t

\pi

3t - 3(1 - 2t) - 2(2 + t) + 7 = 0 \;\Longrightarrow\; 3t - 3 + 6t - 4 - 2t + 7 = 0 \;\Longrightarrow\; 7t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0

P = (0,\ 1,\ 2)

Comprobación. En

\pi

0 - 3 - 4 + 7 = 0

✓.

$P$ no está en $r_1$ . En la primera ecuación de

r_1

0 + 1 - 4 = -3 \ne 0

. Por eso hay un único plano que contiene a

r_1

y pasa por

P

.

Haz de planos de arista $r_1$ .

x + y - 2z + \lambda\,(2x - 3y + z - 1) = 0

Imponemos que pase por $P(0, 1, 2)$ .

(0 + 1 - 4) + \lambda\,(0 - 3 + 2 - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; -3 - 2\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{3}{2}

Ecuación del plano.

x + y - 2z - \frac{3}{2}(2x - 3y + z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; -2x + \frac{11}{2}y - \frac{7}{2}z + \frac{3}{2} = 0

Multiplicando por

-2

4x - 11y + 7z - 3 = 0

Comprobación.

P

0 - 11 + 14 - 3 = 0

✓. Un punto de

r_1

: con

z = 0

x + y = 0

2x - 3y = 1

dan

x = \frac{1}{5}

y = -\frac{1}{5}

; en el plano,

\frac{4}{5} + \frac{11}{5} - 3 = 0

✓.

Consejo

Cuando una recta viene como intersección de dos planos, el haz de planos te da el plano que la contiene con una sola incógnita. Recuerda que el haz así escrito no incluye el segundo plano: si te sale una ecuación imposible para $\lambda$ , el plano buscado es justo ese.

Comprueba siempre el resultado con $P$ y con un punto de $r_1$ : son dos sustituciones y te aseguran los 2,5 puntos.