Sean a y b dos números reales y sea A = \begin{pmatrix} a + b & 2a \\ 2b & a + b \end{pmatrix}. a) Decide si existe la inversa de A en función de los valores de los parámetros a y b. (0,75 puntos) b) En el caso particular en que a = 1 y b = 2 resuelve, si es posible, la ecuación matricial (1,75 puntos) AX - A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

Enunciado

Sean

a

b

dos números reales y sea

A = \begin{pmatrix} a + b & 2a \\ 2b & a + b \end{pmatrix}.

a) Decide si existe la inversa de

A

en función de los valores de los parámetros

a

b

. (0,75 puntos)

b) En el caso particular en que

a = 1

b = 2

resuelve, si es posible, la ecuación matricial (1,75 puntos)

AX - A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = (a - b)^2

A

tiene inversa si y solo si

a \ne b

.

b)

X = A^2 + A^{-1} = \begin{pmatrix} 20 & 10 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) basta con calcular

|A|

y ver cuándo se anula: sale un cuadrado perfecto.

En b) se despeja

X

como en una ecuación, pero multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda (el producto de matrices no es conmutativo):

AX = A^3 + I \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}A^3 + A^{-1} = A^2 + A^{-1}

Así no hace falta calcular

A^3

: solo

A^2

A^{-1}

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = (a + b)^2 - 2a \cdot 2b = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Cuándo existe la inversa.

|A| = 0 \iff a = b

. Por tanto:

si $a \ne b$ , $|A| \ne 0$ y $A$ tiene inversa;
si $a = b$ , $|A| = 0$ y $A$ no tiene inversa.

b) La matriz. Con

a = 1

b = 2

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \qquad |A| = (1 - 2)^2 = 1 \ne 0

así que

A

es invertible y la ecuación se puede resolver.

Despejamos $X$ .

AX = A^3 + I

. Multiplicando por

A^{-1}

a la izquierda:

X = A^{-1}A^3 + A^{-1}I = A^2 + A^{-1}

Cálculo de $A^2$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + 8 & 6 + 6 \\ 12 + 12 & 8 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}

Cálculo de $A^{-1}$ . Para una

2\times 2

, se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide por el determinante (que vale 1):

A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}

Comprobación.

A A^{-1} = \begin{pmatrix} 9 - 8 & -6 + 6 \\ 12 - 12 & -8 + 9 \end{pmatrix} = I

✓.

Solución.

X = A^2 + A^{-1} = \begin{pmatrix} 17 + 3 & 12 - 2 \\ 24 - 4 & 17 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 10 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}

Consejo

Multiplica por $A^{-1}$ siempre por el mismo lado en que está $A$ : de $AX = B$ sale $X = A^{-1}B$ , no $BA^{-1}$ . Es el error que más puntos quita en las ecuaciones matriciales.

Simplificar $A^{-1}A^3 = A^2$ antes de operar te ahorra una multiplicación y, con ella, errores de cálculo. Y antes de despejar, di que $|A| \ne 0$ : es lo que permite hacerlo.