Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

a) Matriz de coeficientes y ampliada.$$A = \begin{pmatrix} \alpha & -2 & 1 \\ 1 & -2 & \alpha \\ -2 & 1 & \alpha \end{pmatrix} \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & -2 & 1 & \alpha \\ 1 & -2 & \alpha & \alpha \\ -2 & 1 & \alpha & -2 \end{array}\right)$$Determinante (desarrollando por la primera fila):$$|A| = \alpha\,(-2\alpha - \alpha) + 2\,(\alpha + 2\alpha) + 1\,(1 - 4) = -3\alpha^2 + 6\alpha - 3 = -3(\alpha - 1)^2$$Valores que lo anulan. $|A| = 0 \iff \alpha = 1$.

Conclusión. Si $\alpha \ne 1$, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ = número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

b) Caso $\alpha = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ x - 2y + z = 1 \\ -2x + y + z = -2 \end{cases}$$Las dos primeras ecuaciones son la misma. El menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3 \ne 0$, así que $\text{rg}(A) = 2$. En la ampliada, las dos primeras filas son iguales, así que su rango tampoco pasa de 2: $\text{rg}(A^*) = 2$.

Conclusión. Para $\alpha = 1$ el sistema es compatible indeterminado, y para $\alpha \ne 1$ es compatible determinado. No hay ningún valor de $\alpha$ para el que el sistema no tenga solución.

c) Más de una solución. Solo ocurre para $\alpha = 1$ (compatible indeterminado, por b).

Resolución. Restando a la primera ecuación la tercera:$$(x - 2y + z) - (-2x + y + z) = 1 - (-2) \;\Longrightarrow\; 3x - 3y = 3 \;\Longrightarrow\; x = 1 + y$$y llevándolo a la primera: $z = 1 - x + 2y = 1 - (1 + y) + 2y = y$. Con $y = \lambda$:$$(x, y, z) = (1 + \lambda,\ \lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Dos soluciones. Con $\lambda = 0$, $(1, 0, 0)$; con $\lambda = 1$, $(2, 1, 1)$.

Comprobación de $(2, 1, 1)$: $2 - 2 + 1 = 1$ ✓ y $-4 + 1 + 1 = -2$ ✓.