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Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

País Vasco · 2025 · Junio
Enunciado
Los estudios publicados en «Anales Españoles de Pediatría» respecto a las curvas de desarrollo fetal de los recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 revelan que el peso de los 9476 recién nacidos sigue una distribución normal con media 3372 g y desviación típica de 405 g.

a) Elegido al azar un recién nacido en el Hospital de Cruces en 2024, calcula la probabilidad de que su peso haya sido superior a 3 kg. (1 punto)

b) Calcula el número probable de recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 cuyo peso esté en el rango comprendido entre 3 kg y 3,5 kg. (1 punto)

c) Utilizando únicamente los resultados de los apartados anteriores, razona si es correcto afirmar que la cantidad de recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 con un peso en el rango comprendido entre 3,1 kg y 3,3 kg debería estar entre 4500 y 4700. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
a) P(X>3000)=0,8212P(X > 3000) = 0{,}8212.

b) P(3000<X<3500)=0,4467P(3000 < X < 3500) = 0{,}4467; unos 9476⋅0,4467≈42339476 \cdot 0{,}4467 \approx 4233 recién nacidos.

c) No es correcto: (3100,3300)⊂(3000,3500)(3100, 3300) \subset (3000, 3500), así que como mucho habría unos 4233 recién nacidos en ese rango, menos de 4500.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El peso XX (en gramos) sigue una N(3372; 405)N(3372;\,405). Para usar la tabla hay que tipificar: Z=X−3372405Z = \dfrac{X - 3372}{405} es una N(0,1)N(0, 1). Ojo con las unidades: la media y la desviación están en gramos, así que 3 kg son 3000 g.
  • En a) la probabilidad es de cola derecha con un valor de ZZ negativo: la simetría de la normal la convierte en una P(Z<α)P(Z < \alpha) con α>0\alpha > 0, que es lo que da la tabla.
  • En b) es un intervalo: diferencia de dos valores de la tabla. El número esperado de recién nacidos es esa probabilidad por el total, 9476.
  • En c) no hay que calcular nada nuevo: el intervalo (3100,3300)(3100, 3300) está dentro del de b), así que no puede tener más recién nacidos.
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Desarrollo

a) Tipificamos. Con 3 kg = 3000 g:P(X>3000)=P(Z>3000−3372405)=P(Z>−0,92)P(X > 3000) = P\left(Z > \frac{3000 - 3372}{405}\right) = P(Z > -0{,}92)(−372/405=−0,9185≈−0,92-372/405 = -0{,}9185 \approx -0{,}92.)

Simetría. Como la normal es simétrica respecto de 0, P(Z>−0,92)=P(Z<0,92)P(Z > -0{,}92) = P(Z < 0{,}92).

Tabla. P(Z<0,92)=0,8212P(Z < 0{,}92) = 0{,}8212.P(X>3000)=0,8212P(X > 3000) = 0{,}8212b) Tipificamos los dos extremos.3000−3372405≈−0,923500−3372405=128405≈0,32\frac{3000 - 3372}{405} \approx -0{,}92 \qquad \frac{3500 - 3372}{405} = \frac{128}{405} \approx 0{,}32Probabilidad del intervalo.P(3000<X<3500)=P(−0,92<Z<0,32)=P(Z<0,32)−P(Z<−0,92)P(3000 < X < 3500) = P(-0{,}92 < Z < 0{,}32) = P(Z < 0{,}32) - P(Z < -0{,}92)Con la simetría, P(Z<−0,92)=1−P(Z<0,92)=1−0,8212=0,1788P(Z < -0{,}92) = 1 - P(Z < 0{,}92) = 1 - 0{,}8212 = 0{,}1788, y de la tabla P(Z<0,32)=0,6255P(Z < 0{,}32) = 0{,}6255:P(3000<X<3500)=0,6255−0,1788=0,4467P(3000 < X < 3500) = 0{,}6255 - 0{,}1788 = 0{,}4467Número probable de recién nacidos. Es el total por la probabilidad:9476⋅0,4467=4232,9≈4233 recieˊn nacidos9476 \cdot 0{,}4467 = 4232{,}9 \approx 4233 \text{ recién nacidos}c) Un intervalo dentro de otro. El intervalo (3100,3300)(3100, 3300) está contenido en (3000,3500)(3000, 3500). Por tanto el suceso 3100<X<33003100 < X < 3300 está incluido en 3000<X<35003000 < X < 3500 y su probabilidad no puede ser mayor:P(3100<X<3300)≤P(3000<X<3500)=0,4467P(3100 < X < 3300) \le P(3000 < X < 3500) = 0{,}4467Conclusión. El número de recién nacidos con un peso entre 3,1 kg y 3,3 kg no puede pasar de unos 4233. Como 4500 y 4700 son mayores que 4233, no es correcto afirmar que esa cantidad debería estar entre 4500 y 4700.
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Consejo

Escribe siempre la tipificación y el paso de P(Z>−a)P(Z > -a) a P(Z<a)P(Z < a): el corrector puntúa cada uno por separado (0,25 puntos), además de la lectura de la tabla.

En c) te piden razonar «únicamente con los resultados anteriores»: no tipifiques 3100 y 3300. Basta con decir que el intervalo está contenido en el de b) y que la probabilidad de un subconjunto no puede ser mayor.
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