Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Se consideran la parábola de ecuación

y = x^2 - 3x

y la recta de ecuación

x + y = 8

.

a) Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas. (1,25 puntos)

b) Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) La parábola y la recta se cortan en

(-2, 10)

(4, 4)

; el recinto es la región entre

x = -2

x = 4

comprendida entre la parábola (abajo) y la recta (arriba). Su área total es

36

u².

b)

A = \displaystyle\int_0^3 (8 - x)\,dx + \int_3^4 (8 + 2x - x^2)\,dx = \frac{39}{2} + \frac{8}{3} = \frac{133}{6} \approx 22{,}17

u².

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para dibujar el recinto hacen falta los puntos de corte de la parábola y la recta y unos cuantos puntos de cada una (vértice y cortes con los ejes de la parábola; dos puntos de la recta).

En b) solo cuenta la parte con

x \ge 0

y \ge 0

. Ahí la recta va siempre por arriba, pero la frontera de abajo cambia: mientras la parábola está por debajo del eje

X

(para

0 < x < 3

), el trozo del primer cuadrante lo limita por abajo el eje $X$ ; a partir de

x = 3

, la parábola. Por eso la integral se parte en dos.

Desarrollo

a) Puntos de corte. Despejando

y = 8 - x

en la recta e igualando:

x^2 - 3x = 8 - x \;\Longrightarrow\; x^2 - 2x - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}

x = -2

(punto

(-2, 10)

) y

x = 4

(punto

(4, 4)

).

Parábola. Corta al eje

X

x(x - 3) = 0

, es decir, en

(0, 0)

(3, 0)

; abre hacia arriba y su vértice está en

x = \frac{3}{2}

y = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4}

, el punto

(1{,}5;\ -2{,}25)

.

Recta.

y = 8 - x

: pendiente

-1

, pasa por

(0, 8)

(8, 0)

.

Dibujo del recinto. Se dibujan la parábola (vértice abajo en

(1{,}5;\ -2{,}25)

, cortando al eje

X

0

3

) y la recta decreciente que baja de

(0, 8)

(8, 0)

. Se cortan en

(-2, 10)

, arriba a la izquierda, y en

(4, 4)

, a la derecha. El recinto es la región entre $x = -2$ y $x = 4$ , por encima de la parábola y por debajo de la recta, con forma de «gota» o segmento parabólico: la recta es el borde superior y el arco de parábola, el inferior. En

x = 1

, por ejemplo, la recta da

7

y la parábola

-2

, así que la recta va por encima en todo el intervalo.

(Su área total, como dato:

\int_{-2}^{4}\big(8 + 2x - x^2\big)\,dx = 36\ \text{u}^2

.)

b) Trozo del primer cuadrante. Es la parte del recinto con

x \ge 0

y \ge 0

, que va de

x = 0

x = 4

Entre $x = 0$ y $x = 3$ la parábola está por debajo del eje $X$ , así que el trozo queda entre el eje $X$ ( $y = 0$ ) y la recta.
Entre $x = 3$ y $x = 4$ queda entre la parábola y la recta.

Área partida en dos integrales.

A = \int_0^3 (8 - x)\,dx + \int_3^4 \big[(8 - x) - (x^2 - 3x)\big]\,dx = \int_0^3 (8 - x)\,dx + \int_3^4 \big(8 + 2x - x^2\big)\,dx

Primera integral (Barrow).

\int_0^3 (8 - x)\,dx = \left[8x - \frac{x^2}{2}\right]_0^3 = 24 - \frac{9}{2} = \frac{39}{2}

Segunda integral.

\int_3^4 \big(8 + 2x - x^2\big)\,dx = \left[8x + x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_3^4 = \left(32 + 16 - \frac{64}{3}\right) - (24 + 9 - 9) = \frac{80}{3} - 24 = \frac{8}{3}

Suma.

A = \frac{39}{2} + \frac{8}{3} = \frac{117 + 16}{6} = \frac{133}{6} \approx 22{,}17\ \text{u}^2

Consejo

El criterio de corrección da 0,75 puntos a los puntos de corte y 0,5 al dibujo: marca en él los cortes, el vértice y los cortes con los ejes. En b), 0,5 puntos son por partir la integral según qué curva limita cada trozo.

El error típico es integrar $(8 - x) - (x^2 - 3x)$ de $0$ a $4$ : eso incluye la parte que queda por debajo del eje $X$ , que no está en el primer cuadrante, y da $\frac{80}{3}$ en lugar de $\frac{133}{6}$ . Mira siempre el dibujo antes de plantear la integral.