Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Calcula las dos integrales siguientes:

a)

\displaystyle\int (2x + 5)\,e^{2x}\,dx

. (1,25 puntos)

b)

\displaystyle\int \frac{x + 7}{x^2 + 10x + 25}\,dx

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\displaystyle\int (2x + 5)\,e^{2x}\,dx = (x + 2)\,e^{2x} + C

.

b)

\displaystyle\int \frac{x + 7}{x^2 + 10x + 25}\,dx = \ln|x + 5| - \frac{2}{x + 5} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es un polinomio por una exponencial: el caso típico de integración por partes. Se deriva el polinomio ( $u = 2x + 5$ , que baja de grado) y se integra la exponencial ( $dv = e^{2x}\,dx$ ).
b) Es una racional con el numerador de menor grado que el denominador. El denominador es un cuadrado perfecto, $(x + 5)^2$ , así que se descompone en fracciones simples con una raíz doble:

\frac{x + 7}{(x + 5)^2} = \frac{A}{x + 5} + \frac{B}{(x + 5)^2}

Desarrollo

a) Elección de las partes.

u = 2x + 5 \;\Rightarrow\; du = 2\,dx, \qquad dv = e^{2x}\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{e^{2x}}{2}

Fórmula de partes.

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

\int (2x + 5)\,e^{2x}\,dx = (2x + 5)\,\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\cdot 2\,dx = \frac{(2x + 5)\,e^{2x}}{2} - \int e^{2x}\,dx

Integral que queda.

= \frac{(2x + 5)\,e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{2} + C = \frac{(2x + 4)\,e^{2x}}{2} + C = (x + 2)\,e^{2x} + C

Comprobación (derivando).

\big[(x + 2)\,e^{2x}\big]' = e^{2x} + 2(x + 2)\,e^{2x} = (2x + 5)\,e^{2x}

✓.

b) Factorización del denominador.

x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

(raíz doble

x = -5

).

Fracciones simples.

\frac{x + 7}{(x + 5)^2} = \frac{A}{x + 5} + \frac{B}{(x + 5)^2} \;\Longrightarrow\; x + 7 = A\,(x + 5) + B

Con

x = -5

B = 2

. Igualando los coeficientes de

x

A = 1

.

(También se ve directamente:

x + 7 = (x + 5) + 2

.)

Integración.

\int \frac{x + 7}{(x + 5)^2}\,dx = \int \frac{dx}{x + 5} + \int \frac{2}{(x + 5)^2}\,dx = \ln|x + 5| + 2\cdot\frac{(x + 5)^{-1}}{-1} + C = \ln|x + 5| - \frac{2}{x + 5} + C

Comprobación (derivando).

\dfrac{1}{x + 5} + \dfrac{2}{(x + 5)^2} = \dfrac{(x + 5) + 2}{(x + 5)^2} = \dfrac{x + 7}{(x + 5)^2}

✓.

Consejo

En partes, el criterio puntúa la elección de los factores (0,5), la aplicación de la fórmula (0,5) y el resultado (0,25): escribe explícitamente $u$ , $du$ , $dv$ y $v$ . En b), la descomposición en fracciones simples vale 0,5 por sí sola.

Con una raíz doble, el sumando $\frac{B}{(x + 5)^2}$ no da un logaritmo sino una potencia: $\int (x + 5)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 5}$ . No olvides el valor absoluto del logaritmo ni la constante $C$ , y comprueba derivando.