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Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Nos han pedido que hagamos un estudio para la fabricación de tazas cilíndricas. Como condición han impuesto que deben tener una capacidad de

216\pi\ \text{cm}^3

. La empresa quiere que la fabricación sea lo más económica posible.

a) Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo. (1,5 puntos)

b) Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de 3 €/m². Calcula el coste de imprimación de una taza. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Radio de la base

R = 6

cm y altura

H = 6

cm (superficie mínima

108\pi \approx 339{,}3

cm²).

b) Coste de imprimación

= 0{,}0324\pi \approx 0{,}10

€ por taza (unos 10,2 céntimos).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo «más económico» es gastar el mínimo de material, es decir, minimizar la superficie de la taza. Una taza es un cilindro abierto por arriba: tiene el fondo (un círculo) y la pared lateral, pero no tapa.

Variables: radio de la base $R$ y altura $H$ (en cm).
Función a minimizar: $S = \pi R^2 + 2\pi R H$ .
Condición: $V = \pi R^2 H = 216\pi$ , de donde se despeja $H$ en función de $R$ .
Se sustituye, se deriva, se iguala a cero y se comprueba que es un mínimo.

En b) la superficie exterior es esa misma

S

mínima, que hay que pasar a m² antes de multiplicar por el precio.

Desarrollo

a) Condición del volumen.

\pi R^2 H = 216\pi \;\Longrightarrow\; H = \frac{216}{R^2}

Función a optimizar. Sustituyendo en la superficie (fondo + lateral):

S(R) = \pi R^2 + 2\pi R\cdot\frac{216}{R^2} = \pi R^2 + \frac{432\pi}{R}, \qquad R > 0

Derivada e igualación a cero.

S'(R) = 2\pi R - \frac{432\pi}{R^2} = 0 \;\Longrightarrow\; 2\pi R^3 = 432\pi \;\Longrightarrow\; R^3 = 216 \;\Longrightarrow\; R = 6\ \text{cm}

Comprobación de mínimo.

S''(R) = 2\pi + \frac{864\pi}{R^3} \;\Longrightarrow\; S''(6) = 2\pi + \frac{864\pi}{216} = 6\pi > 0

Es un mínimo relativo. Además,

S'' > 0

en todo

(0, +\infty)

R = 6

es el único punto crítico, así que es el mínimo absoluto (también se ve con el signo de

S'

: negativa para

R < 6

y positiva para

R > 6

).

Altura.

H = \frac{216}{6^2} = \frac{216}{36} = 6\ \text{cm}

La taza más económica tiene radio de la base

6

cm (diámetro

12

cm) y altura

6

cm.

b) Superficie exterior. Con esas medidas:

S = \pi\cdot 6^2 + 2\pi\cdot 6\cdot 6 = 36\pi + 72\pi = 108\pi\ \text{cm}^2 \approx 339{,}29\ \text{cm}^2

Paso a m². Como

1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2

S = 108\pi\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2 = 0{,}0108\pi\ \text{m}^2 \approx 0{,}033929\ \text{m}^2

Coste. Multiplicando la superficie en m² por el precio, 3 € por m²:

\text{Coste} = 0{,}0108\pi \cdot 3 = 0{,}0324\pi \approx 0{,}102

es decir, unos 0,102 €: unos 10 céntimos por taza.

Consejo

El criterio de corrección puntúa por separado escribir la función a optimizar, la condición del volumen, las derivadas primera y segunda y dar el resultado con unidades (cm en a, € en b). No te dejes ningún escalón.

Dos trampas: una taza no tiene tapa (si pones $2\pi R^2$ el resultado cambia), y en b) hay que pasar los cm² a m² antes de multiplicar por el precio: $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ , no $100$ .

Paso 1 de 3

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