Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Dominio. $x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}$, es decir, $x = 4$ y $x = -1$:$$f(x) = \frac{x}{(x + 1)(x - 4)}, \qquad \text{Dom}\, f = \mathbb{R}\setminus\{-1, 4\}$$a) Asíntotas verticales. En $x = -1$ y en $x = 4$ el numerador no se anula ($-1$ y $4$), así que los límites son infinitos. Estudiando el signo a cada lado:$$\lim_{x\to -1^-} f(x) = \frac{-1}{(0^-)(-5)} = -\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+} f(x) = \frac{-1}{(0^+)(-5)} = +\infty$$$$\lim_{x\to 4^-} f(x) = \frac{4}{(5)(0^-)} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 4^+} f(x) = \frac{4}{(5)(0^+)} = +\infty$$Hay dos asíntotas verticales: $x = -1$ y $x = 4$.

Asíntota horizontal. Dividiendo numerador y denominador entre $x^2$:$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x}{x^2 - 3x - 4} = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1/x}{1 - 3/x - 4/x^2} = 0$$La recta $y = 0$ es asíntota horizontal tanto en $-\infty$ como en $+\infty$. Al haber horizontal en los dos lados, no hay asíntotas oblicuas.

b) Derivada. Por la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{1\cdot(x^2 - 3x - 4) - x\,(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 4)^2} = \frac{x^2 - 3x - 4 - 2x^2 + 3x}{(x^2 - 3x - 4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 3x - 4)^2} = -\frac{x^2 + 4}{(x^2 - 3x - 4)^2}$$Signo de $f'$. El numerador $x^2 + 4$ es siempre positivo (nunca se anula: no hay puntos críticos) y el denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio. Por tanto $f'(x) < 0$ para todo $x \in \text{Dom}\,f$.

Monotonía. $f$ es decreciente en cada uno de los intervalos $(-\infty, -1)$, $(-1, 4)$ y $(4, +\infty)$, y no crece en ninguno. No tiene máximos ni mínimos relativos.

(Ojo: no es decreciente en todo su dominio «de un tirón», porque salta de $-\infty$ a $+\infty$ en cada asíntota vertical; se dice intervalo a intervalo.)

c) Punto y pendiente.$$f(0) = \frac{0}{-4} = 0, \qquad f'(0) = -\frac{0 + 4}{(-4)^2} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$$Recta tangente.$$y - 0 = -\frac{1}{4}\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{4}$$