Matemáticas IIMedio2,5 pts

Vectores y ángulosSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

También trata: Rectas y planos
País Vasco · 2025 · Julio
Enunciado
Sean π\pi el plano que pasa por los puntos A(2,3,4)A(2, 3, 4), B(3,−1,−2)B(3, -1, -2), C(5,−1,2)C(5, -1, 2) y rr la recta que pasa por los puntos D(6,−5,−4)D(6, -5, -4), E(7,1,4)E(7, 1, 4).

a) Calcula el ángulo entre el plano π\pi y la recta rr, expresando el resultado en grados, minutos y segundos. (1,5 puntos)

b) En caso de que rr y π\pi se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta rr y el plano π\pi. (1 punto)
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Resultado
a) π:2x+2y−z−6=0\pi: 2x + 2y - z - 6 = 0, v⃗r=(1,6,8)\vec v_r = (1, 6, 8); sen⁡α=2101\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{101}}, α≈11,479∘=11∘ 28′ 44′′\alpha \approx 11{,}479^\circ = 11^\circ\, 28'\, 44''.

b) Se cortan (pues n⃗⋅v⃗≠0\vec n\cdot\vec v \neq 0); el punto de intersección es D(6,−5,−4)D(6, -5, -4).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Necesitamos dos vectores: el normal del plano, n⃗=AB→×AC→\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}, y el director de la recta, v⃗=DE→\vec v = \overrightarrow{DE}.

El ángulo entre recta y plano es el complementario del ángulo entre v⃗\vec v y n⃗\vec n, así que se calcula directamente con el seno:sen⁡α=∣n⃗⋅v⃗∣∣n⃗∣ ∣v⃗∣\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n|\,|\vec v|}Si ese ángulo no es 0∘0^\circ, la recta no es paralela al plano y se cortan: en b) se sustituye la paramétrica de rr en la ecuación de π\pi.
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Desarrollo

a) Vectores del plano.AB→=(1,−4,−6),AC→=(3,−4,−2)\overrightarrow{AB} = (1, -4, -6), \qquad \overrightarrow{AC} = (3, -4, -2)Vector normal.AB→×AC→=∣i⃗j⃗k⃗1−4−63−4−2∣=(8−24, −18+2, −4+12)=(−16,−16,8)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -4 & -6 \\ 3 & -4 & -2 \end{vmatrix} = (8 - 24,\ -18 + 2,\ -4 + 12) = (-16, -16, 8)Tomamos el proporcional n⃗=(2,2,−1)\vec n = (2, 2, -1), con ∣n⃗∣=4+4+1=3|\vec n| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3.

Plano π\pi. 2x+2y−z+D=02x + 2y - z + D = 0 y, por AA: 4+6−4+D=0⇒D=−64 + 6 - 4 + D = 0 \Rightarrow D = -6.π:2x+2y−z−6=0\pi: 2x + 2y - z - 6 = 0(Comprobación: BB da 6−2+2−6=06 - 2 + 2 - 6 = 0 y CC da 10−2−2−6=010 - 2 - 2 - 6 = 0 ✓.)

Director de la recta.v⃗=DE→=(7−6, 1+5, 4+4)=(1,6,8),∣v⃗∣=1+36+64=101\vec v = \overrightarrow{DE} = (7 - 6,\ 1 + 5,\ 4 + 4) = (1, 6, 8), \qquad |\vec v| = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101}Ángulo. El producto escalar es n⃗⋅v⃗=2+12−8=6\vec n\cdot\vec v = 2 + 12 - 8 = 6, así quesen⁡α=∣6∣3101=2101≈0,199007  ⟹  α=arcsen⁡2101≈11,47892∘\operatorname{sen}\alpha = \frac{|6|}{3\sqrt{101}} = \frac{2}{\sqrt{101}} \approx 0{,}199007 \;\Longrightarrow\; \alpha = \operatorname{arcsen}\frac{2}{\sqrt{101}} \approx 11{,}47892^\circ(Equivale a calcular el ángulo entre n⃗\vec n y v⃗\vec v, arccos⁡2101≈78,52108∘\arccos\frac{2}{\sqrt{101}} \approx 78{,}52108^\circ, y restarlo de 90∘90^\circ.)

Grados, minutos y segundos.0,47892∘⋅60=28,7354′  ⇒  28′;0,7354′⋅60≈44,1′′0{,}47892^\circ \cdot 60 = 28{,}7354' \;\Rightarrow\; 28'; \qquad 0{,}7354' \cdot 60 \approx 44{,}1''α≈11∘ 28′ 44′′\alpha \approx 11^\circ\, 28'\, 44''b) Posición relativa. Como n⃗⋅v⃗=6≠0\vec n\cdot\vec v = 6 \neq 0, el director no es perpendicular al normal: la recta no es paralela al plano y lo corta en un punto (por eso el ángulo de a) no es 0∘0^\circ).

Punto de corte. Paramétricas de rr desde DD:r:x=6+μ,y=−5+6μ,z=−4+8μr: x = 6 + \mu,\quad y = -5 + 6\mu,\quad z = -4 + 8\muSustituyendo en π\pi:2(6+μ)+2(−5+6μ)−(−4+8μ)−6=0  ⟹  12+2μ−10+12μ+4−8μ−6=0  ⟹  6μ=02(6 + \mu) + 2(-5 + 6\mu) - (-4 + 8\mu) - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; 12 + 2\mu - 10 + 12\mu + 4 - 8\mu - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; 6\mu = 0μ=0\mu = 0, así que el punto de corte es el propio D(6,−5,−4)D(6, -5, -4).

Comprobación. 2⋅6+2⋅(−5)−(−4)−6=12−10+4−6=02\cdot 6 + 2\cdot(-5) - (-4) - 6 = 12 - 10 + 4 - 6 = 0 ✓: DD está en π\pi.
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Consejo

Para el ángulo recta-plano usa el seno (o 90∘90^\circ menos el ángulo entre n⃗\vec n y v⃗\vec v): confundirlo con el coseno da el complementario, 78∘ 31′ 16′′78^\circ\,31'\,16'', y es el error típico. El criterio de corrección da 0,5 puntos solo a pasar a grados, minutos y segundos: no redondees antes a 11,48∘11{,}48^\circ, que te desplaza 4 segundos; trabaja con todos los decimales.

En b), justifica que se cortan antes de buscar el punto (producto escalar no nulo).
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