Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Halla el punto

P'

simétrico de

P(4, -3, 0)

respecto de la recta

r

que pasa por los puntos

A(-2, 0, 1)

B(-2, -1, 0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Recta

r: (-2, 0, 1) + \lambda(0, 1, 1)

; plano perpendicular por

P

y + z + 3 = 0

; pie de la perpendicular

M(-2, -2, -1)

.

Simétrico:

P'(-8, -1, -2)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico de un punto respecto de una recta se construye en tres pasos:

Se busca el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta, el punto $M$ de $r$ más cercano a $P$ . Para eso se corta $r$ con el plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$ (su vector normal es el director de la recta).
$M$ es el punto medio del segmento $PP'$ .
Se despeja $P'$ : $P' = 2M - P$ .

Desarrollo

Recta $r$ . Su vector director es

\vec v = \overrightarrow{AB} = (-2, -1, 0) - (-2, 0, 1) = (0, -1, -1) \parallel (0, 1, 1)

y, tomando

A

como punto,

r: (x, y, z) = (-2, 0, 1) + \lambda\,(0, 1, 1) \quad\Longleftrightarrow\quad x = -2,\ y = \lambda,\ z = 1 + \lambda

Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su normal es

(0, 1, 1)

, así que

\pi: y + z + D = 0

. Como pasa por

P(4, -3, 0)

-3 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 3

\pi: y + z + 3 = 0

Pie de la perpendicular. Sustituimos el punto genérico de

r

\pi

\lambda + (1 + \lambda) + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; 2\lambda + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2

M = (-2,\ -2,\ 1 - 2) = (-2, -2, -1)

Comprobación.

\overrightarrow{PM} = (-6, 1, -1)

\overrightarrow{PM}\cdot(0, 1, 1) = 0 + 1 - 1 = 0

✓: es perpendicular a

r

.

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'(x', y', z')

\left(\frac{4 + x'}{2},\ \frac{-3 + y'}{2},\ \frac{0 + z'}{2}\right) = (-2, -2, -1)

x' = -4 - 4 = -8, \qquad y' = -4 + 3 = -1, \qquad z' = -2 - 0 = -2

P' = (-8, -1, -2)

Comprobación.

|\overrightarrow{MP}| = |(6, -1, 1)| = \sqrt{38}

|\overrightarrow{MP'}| = |(-6, 1, -1)| = \sqrt{38}

✓; además

P'

cumple la ecuación de

\pi

-1 - 2 + 3 = 0

✓.

Consejo

El criterio de corrección reparte los 2,5 puntos en cinco pasos de 0,5: recta, plano perpendicular, punto de corte, planteamiento del punto medio y $P'$ . Aunque te equivoques en una cuenta, escribe el método completo: cada paso puntúa por sí mismo.

El error más habitual es dar $M$ como respuesta: $M$ es la proyección, no el simétrico. Y comprueba que $P'$ está en el mismo plano perpendicular y a la misma distancia de $M$ que $P$ .