Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Sean

\alpha

un número real y

A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}.

a) Encuentra los valores del parámetro

\alpha

para los que existe la matriz inversa de

A

. (0,5 puntos)

b) En el caso particular en que

\alpha = 0

calcula, si es posible,

A^{-1}

A^{2025}

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Existe

A^{-1}

si y solo si

\alpha \neq 1

(pues

|A| = 1 - \alpha

).

b) Con

\alpha = 0

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

A^{2025} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2025 \\ 0 & 1 & 2025 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero: en a) basta calcular

|A|

en función de

\alpha

.

En b), con

\alpha = 0

, la inversa se saca por adjuntos (o por Gauss-Jordan). Para la potencia

A^{2025}

no se multiplica 2025 veces: se calculan

A^2

A^3

… hasta ver el patrón, o, mejor, se escribe

A = I + N

con

N

una matriz cuyo cuadrado es la nula.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento no nulo):

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1 - \alpha

Existencia de la inversa.

A

es invertible si

|A| \neq 0

, es decir, si

\alpha \neq 1

.

b) Matriz con $\alpha = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 1 - 0 = 1 \neq 0

así que la inversa existe.

Adjuntos. Calculamos

A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

A_{11} = 1,\ A_{12} = 0,\ A_{13} = 0,\qquad A_{21} = 0,\ A_{22} = 1,\ A_{23} = 0,\qquad A_{31} = -1,\ A_{32} = -1,\ A_{33} = 1

(por ejemplo,

A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1

A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1

).

Inversa.

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\text{Adj}\,A)^t

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 + 1 \\ 0 & 1 & -1 + 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

✓.

Potencia: descomposición. Escribimos

A = I + N

con

N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O

Potencias sucesivas. Como

I

N

conmutan y

N^2 = O

A^2 = (I + N)^2 = I + 2N, \qquad A^3 = (I + 2N)(I + N) = I + 3N, \qquad \dots, \qquad A^n = I + nN

(Se puede comprobar directamente:

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

.) Con

n = -1

la fórmula da justo

A^{-1} = I - N

, lo que confirma la inversa.

$A^{2025}$ .

A^{2025} = I + 2025\,N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2025 \\ 0 & 1 & 2025 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Consejo

Cuando piden una potencia muy alta, calcula $A^2$ y $A^3$ , escribe la fórmula general $A^n$ y justifícala (por inducción o con $A = I + N$ , $N^2 = O$ ). El criterio de corrección da 1 punto entero a $A^{2025}$ : no lo dejes en «se ve el patrón» sin escribir $A^n$ .

Y comprueba la inversa multiplicando $A\,A^{-1}$ : es un minuto y evita perder el punto por un signo de un adjunto o por olvidar trasponer.