Matemáticas IIMedio2,5 pts

Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

País Vasco · 2025 · Julio
Enunciado
Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{x+3z=3+αyz+αx+y−2=0x+2z−y=1.\begin{cases} x + 3z = 3 + \alpha y \\ z + \alpha x + y - 2 = 0 \\ x + 2z - y = 1. \end{cases}a) Discute la existencia de solución según los valores del parámetro α\alpha. (1,5 puntos)

b) Si es posible, resuélvelo en el caso α=0\alpha = 0. (1 punto)
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) Si α≠0\alpha \neq 0 y α≠2\alpha \neq 2: compatible determinado (solución única). Si α=2\alpha = 2: incompatible (rg A=2\text{rg}\,A = 2, rg A∗=3\text{rg}\,A^* = 3). Si α=0\alpha = 0: compatible indeterminado (rg A=rg A∗=2\text{rg}\,A = \text{rg}\,A^* = 2).

b) Con α=0\alpha = 0: x=3−3t, y=2−t, z=tx = 3 - 3t,\ y = 2 - t,\ z = t, con t∈Rt \in \mathbb{R}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Lo primero, y donde más se falla, es ordenar el sistema: las incógnitas en el mismo orden (xx, yy, zz) a la izquierda y los términos independientes a la derecha. Solo entonces se pueden escribir bien la matriz de coeficientes y la ampliada.

Después, Rouché-Frobenius: el determinante de la matriz de coeficientes dice para qué valores de α\alpha el rango es 3 (sistema compatible determinado). Los valores que lo anulan se estudian uno a uno comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

En b), con α=0\alpha = 0, sabremos por a) si hay solución y cuántas; si son infinitas, se quita la ecuación que sobra y se pone una incógnita como parámetro.
2

Desarrollo

Sistema ordenado. Pasando todo a la forma ax+by+cz=dax + by + cz = d:{x−αy+3z=3αx+y+z=2x−y+2z=1A=(1−α3α111−12),A∗=(1−α33α1121−121)\begin{cases} x - \alpha y + 3z = 3 \\ \alpha x + y + z = 2 \\ x - y + 2z = 1 \end{cases} \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & -\alpha & 3 \\ \alpha & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -\alpha & 3 & 3 \\ \alpha & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right)a) Determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollando por la primera fila:∣A∣=1 (2+1)+α (2α−1)+3 (−α−1)=3+2α2−α−3α−3=2α2−4α=2α(α−2)|A| = 1\,(2 + 1) + \alpha\,(2\alpha - 1) + 3\,(-\alpha - 1) = 3 + 2\alpha^2 - \alpha - 3\alpha - 3 = 2\alpha^2 - 4\alpha = 2\alpha(\alpha - 2)Se anula en α=0\alpha = 0 y α=2\alpha = 2.

Caso α≠0\alpha \neq 0 y α≠2\alpha \neq 2. ∣A∣≠0|A| \neq 0, así que rg(A)=rg(A∗)=3=\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso α=2\alpha = 2. La matriz de coeficientes tiene el menor ∣1−221∣=5≠0\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \neq 0, luego rg(A)=2\text{rg}(A) = 2. Para la ampliada orlamos con la columna de términos independientes:∣1−232121−11∣=1 (1+2)+2 (2−2)+3 (−2−1)=3+0−9=−6≠0\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\,(1 + 2) + 2\,(2 - 2) + 3\,(-2 - 1) = 3 + 0 - 9 = -6 \neq 0Así, rg(A∗)=3≠rg(A)=2\text{rg}(A^*) = 3 \neq \text{rg}(A) = 2: sistema incompatible (sin solución).

Caso α=0\alpha = 0. El menor ∣1001∣=1≠0\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 da rg(A)=2\text{rg}(A) = 2. Orlando con los términos independientes:∣1030121−11∣=1 (1+2)−0+3 (0−1)=3−3=0\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\,(1 + 2) - 0 + 3\,(0 - 1) = 3 - 3 = 0y el otro menor de orden 3 de A∗A^* que contiene las dos primeras columnas es el propio ∣A∣=0|A| = 0. Por tanto rg(A∗)=2=rg(A)<3\text{rg}(A^*) = 2 = \text{rg}(A) < 3: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

b) Sistema con α=0\alpha = 0.{x+3z=3y+z=2x−y+2z=1\begin{cases} x + 3z = 3 \\ y + z = 2 \\ x - y + 2z = 1 \end{cases}La tercera ecuación es la primera menos la segunda: (x+3z)−(y+z)=3−2⇒x−y+2z=1(x + 3z) - (y + z) = 3 - 2 \Rightarrow x - y + 2z = 1. Sobra.

Parámetro. Con z=tz = t: de la primera, x=3−3tx = 3 - 3t; de la segunda, y=2−ty = 2 - t.

Comprobación en la tercera: (3−3t)−(2−t)+2t=1(3 - 3t) - (2 - t) + 2t = 1 ✓.
3

Consejo

El criterio de corrección puntúa por separado identificar bien la matriz de coeficientes, calcular el determinante con los casos de solución única y analizar el caso α=2\alpha = 2. Si no ordenas antes las incógnitas (aquí αy\alpha y está a la derecha en la primera ecuación y zz va delante en la segunda), todo lo demás sale mal.

En los casos especiales, di siempre los dos rangos y qué concluye Rouché-Frobenius: «∣A∣=0|A| = 0» no basta para decir que el sistema es incompatible.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera las matrices A=(121031−200),X=(xyz)yB=(331).A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 3Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera el sistema de ecuaciones {x+y+z=17x+3y+3z=15x−y−z=5\left\{\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ 7x + 3y + 3z &= 15 \\ x - y - z &= 5 \end{aligned}\right.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioSistemas de ecuaciones
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Una empresa produce tres tipos de productos, AA, BB y CC. Si el precio…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Álgebra →