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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Julio

Enunciado

Según estimación de cifras de cáncer en 2024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del

2{,}65\,\%

respecto a 2023 con 279.260 casos, según el informe "Las cifras del cáncer en España 2024", elaborado por la Sociedad Española de Oncología Médica (SEOM) y Red Española de Registros de Cáncer (REDECAN).

La estimación por edad y sexo es la siguiente:

5{,}56\,\%

menores de 45 años, de los cuales el

62{,}86\,\%

son mujeres;

59{,}77\,\%

mayores de 65 años, de los cuales el

39{,}11\,\%

son mujeres; del resto, el

42{,}25\,\%

son mujeres.

a) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer. (0,75 puntos)

b) Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años. (0,75 puntos)

c) Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos. (0,75 puntos)

d) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea? Razona tu respuesta teniendo en cuenta únicamente los resultados anteriores. (0,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(M) \approx 0{,}4152

.

b)

P(M\cap V) \approx 0{,}2338

; unas

67\,011

mujeres mayores de 65 años (unas

67\,000

).

c)

P(\text{65 años o menos} \mid M) \approx 0{,}4370

.

d) Es más probable que no sea mujer:

P(\overline M) \approx 0{,}5848 > 0{,}5 > P(M)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de dos etapas: primero el grupo de edad y, dentro de cada grupo, si es mujer o no. Lo más cómodo es dibujar un árbol:

Primera rama: menor de 45 ( $5{,}56\,\%$ ), mayor de 65 ( $59{,}77\,\%$ ) y «el resto», entre 45 y 65, que es lo que falta hasta el $100\,\%$ .
Segunda rama: la proporción de mujeres de cada grupo.

Con el árbol, a) es la probabilidad total, b) es solo la rama «mayor de 65 y mujer» multiplicada por el total de casos, c) es Bayes (condicionamos a ser mujer) y d) sale comparando a) con

0{,}5

.

Los datos de 2023 y el

2{,}65\,\%

de incremento son contexto: no hacen falta.

Desarrollo

Sucesos. Llamamos

J

= «menor de 45 años»,

I

= «entre 45 y 65 años»,

V

= «mayor de 65 años» y

M

= «ser mujer».

Probabilidad del grupo intermedio. Los tres grupos de edad son incompatibles y cubren a todos los diagnosticados:

P(I) = 1 - 0{,}0556 - 0{,}5977 = 0{,}3467

Árbol.

$P(J) = 0{,}0556$ , con $P(M \mid J) = 0{,}6286$ y $P(\overline M \mid J) = 0{,}3714$ .
$P(I) = 0{,}3467$ , con $P(M \mid I) = 0{,}4225$ y $P(\overline M \mid I) = 0{,}5775$ .
$P(V) = 0{,}5977$ , con $P(M \mid V) = 0{,}3911$ y $P(\overline M \mid V) = 0{,}6089$ .

a) Probabilidad total. Sumamos las tres ramas que acaban en

M

P(M) = P(J)\,P(M\mid J) + P(I)\,P(M\mid I) + P(V)\,P(M\mid V)

P(M) = 0{,}0556\cdot 0{,}6286 + 0{,}3467\cdot 0{,}4225 + 0{,}5977\cdot 0{,}3911 = 0{,}03495 + 0{,}14648 + 0{,}23376 = 0{,}4152

b) Probabilidad de la rama. Ser mujer y mayor de 65 es la intersección:

P(M \cap V) = P(V)\,P(M\mid V) = 0{,}5977\cdot 0{,}3911 = 0{,}23376

Número esperado de mujeres. Multiplicamos por el total de diagnósticos de 2024:

286\,664 \cdot 0{,}23376 \approx 67\,011 \ \text{mujeres}

(Si se redondea antes la probabilidad a

0{,}2338

, sale

67\,022

: la diferencia es solo de redondeo.)

c) Bayes. «Tener 65 años o menos» es el contrario de

V

. Condicionando a ser mujer:

P(\overline V \mid M) = 1 - P(V \mid M) = 1 - \frac{P(M\cap V)}{P(M)} = 1 - \frac{0{,}23376}{0{,}41519} = 1 - 0{,}5630 = 0{,}4370

Comprobación. Por el camino directo,

\dfrac{0{,}03495 + 0{,}14648}{0{,}41519} = \dfrac{0{,}18143}{0{,}41519} = 0{,}4370

✓.

d) Comparación. Por a),

P(M) = 0{,}4152 < 0{,}5

, así que

P(\overline M) = 1 - P(M) = 0{,}5848 > P(M)

Es más probable que la persona elegida no sea mujer.

Consejo

El criterio de corrección da puntos por dibujar el árbol o la tabla de contingencia y por indicar el proceso (escribir la fórmula de la probabilidad total o de Bayes antes de sustituir), no solo por el número final. Hazlo siempre.

Fíjate en que el porcentaje del grupo intermedio no se da: hay que sacarlo como lo que falta hasta el $100\,\%$ . Y en c), «65 años o menos» incluye a los menores de 45 y al grupo intermedio: el contrario de «mayor de 65» te ahorra una suma.