Sean A y B dos sucesos en un espacio muestral, \overline{A} y \overline{B} los correspondientes sucesos complementarios. Se sabe que P(A) = 0{,}7, P(\overline{B}) = 0{,}2 y P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1. a) (0,5 puntos) Razone si \overline{A} y \overline{B} son dos sucesos independientes. b) (1 punto) Calcule P(A \cap B). c) (1 punto) Calcule P(\overline{A} \mid B).

Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Sean

A

B

dos sucesos en un espacio muestral,

\overline{A}

\overline{B}

los correspondientes sucesos complementarios. Se sabe que

P(A) = 0{,}7

P(\overline{B}) = 0{,}2

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1

.

a) (0,5 puntos) Razone si

\overline{A}

\overline{B}

son dos sucesos independientes.

b) (1 punto) Calcule

P(A \cap B)

.

c) (1 punto) Calcule

P(\overline{A} \mid B)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{No: } 0{,}06 \neq 0{,}1 \qquad \text{b)}\ P(A \cap B) = 0{,}6 \qquad \text{c)}\ P(\overline{A} \mid B) = 0{,}25}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es pasar a los complementarios lo que haga falta:

P(\overline{A}) = 0{,}3

P(B) = 0{,}8

.

En a) dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades.

En b) la clave es la ley de De Morgan:

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

, así que el dato da

P(A \cup B)

, y con la fórmula de la unión se despeja la intersección.

En c) se aplica la definición de probabilidad condicionada;

\overline{A} \cap B

es «

B

sin

A

», cuya probabilidad es

P(B) - P(A \cap B)

Desarrollo

Complementarios.

P(\overline{A}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3

P(B) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8

.

a)

P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}) = 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06 \neq 0{,}1 = P(\overline{A} \cap \overline{B}).

Como la probabilidad de la intersección no es el producto, $\overline{A}$ y $\overline{B}$ no son independientes.

b) Por De Morgan,

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

, luego

P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cap B) = 0{,}7 + 0{,}8 - 0{,}9 = 0{,}6.

B

se reparte entre

A \cap B

\overline{A} \cap B

, así que

P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}8 - 0{,}6 = 0{,}2

P(\overline{A} \mid B) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}2}{0{,}8} = \frac{1}{4} = 0{,}25.

Comprobación. Las cuatro casillas de la tabla de doble entrada suman

1

P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) + P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6 + 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1

✓ (con

P(A \cap \overline{B}) = 0{,}7 - 0{,}6 = 0{,}1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una tabla de doble entrada ( $A$ , $\overline{A}$ por filas; $B$ , $\overline{B}$ por columnas) con los datos y los totales resuelve este tipo de ejercicio casi sin fórmulas, y sirve de comprobación.

Para justificar la independencia hay que comparar con números: escribe el producto, la intersección y concluye. Decir «no son independientes» sin la cuenta no puntúa.