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Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

En una empresa tecnológica internacional el

70\,\%

de los empleados son europeos, una tercera parte de los empleados no europeos se dedica al desarrollo de software, labor a la que se dedican también tres de cada siete de los empleados europeos. Por el cincuenta aniversario la empresa elige al azar un empleado que será agraciado con un importante paquete de acciones de la empresa. Con estos datos se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el empleado agraciado sea uno de los europeos que no realiza desarrollo de software en la empresa.

b) (1,5 puntos) En un segundo sorteo se toman al azar

10

empleados distintos y recibirán el mismo paquete de acciones, a repartir, si como mucho

2

de ellos desarrollan software para la empresa. Calcular la probabilidad de que la empresa tenga que dar este segundo paquete de acciones.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(E \cap \overline{S}) = 0{,}4 \qquad \text{b)}\ P(X \le 2) \approx 0{,}1673}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los empleados se parten en europeos y no europeos, y de cada grupo conocemos qué fracción hace software: es un árbol de dos niveles.

En a) se pide una intersección («europeo y no hace software»): se multiplica a lo largo de la rama,

P(E)\cdot P(\overline{S} \mid E)

.

En b) primero hace falta la probabilidad de que un empleado cualquiera haga software,

P(S)

, por la probabilidad total. Después, el número de desarrolladores entre los

10

elegidos es una binomial

B(10, P(S))

(la plantilla es grande, así que tomamos los diez como ensayos independientes) y «como mucho

2

» es

P(X \le 2)

Desarrollo

Sucesos y datos. Sean

E

= «el empleado es europeo» y

S

= «se dedica al desarrollo de software».

P(E) = 0{,}7, \qquad P(\overline{E}) = 0{,}3, \qquad P(S \mid E) = \frac{3}{7}, \qquad P(S \mid \overline{E}) = \frac{1}{3}.

a) La probabilidad de que un europeo no haga software es

P(\overline{S} \mid E) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}

, luego

P(E \cap \overline{S}) = P(E)\cdot P(\overline{S} \mid E) = 0{,}7 \cdot \frac{4}{7} = 0{,}4.

b) Por la probabilidad total,

P(S) = P(S \mid E)\,P(E) + P(S \mid \overline{E})\,P(\overline{E}) = \frac{3}{7}\cdot 0{,}7 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}3 = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4.

Sea

X

= número de empleados, de los

10

elegidos, que desarrollan software:

X \sim B(10;\ 0{,}4), \qquad P(X = k) = \binom{10}{k}\,0{,}4^{k}\,0{,}6^{10 - k}.

La empresa da el segundo paquete si

X \le 2

P(X \le 2) = \binom{10}{0}0{,}6^{10} + \binom{10}{1}0{,}4 \cdot 0{,}6^{9} + \binom{10}{2}0{,}4^2 \cdot 0{,}6^{8}

= 0{,}0060466 + 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}0100777 + 45 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}0167962

= 0{,}0060466 + 0{,}0403108 + 0{,}1209324 \approx 0{,}1673.

(El valor exacto es

\frac{1\,633\,689}{9\,765\,625}

.) La empresa tendrá que dar el segundo paquete con una probabilidad de un

16{,}7\,\%

: lo esperado entre diez empleados son

10\cdot 0{,}4 = 4

desarrolladores, así que «como mucho

2

» es poco probable.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no se pide una condicionada sino una intersección: «uno de los europeos que no hace software» entre todos los empleados. Se multiplica por la rama del árbol; no se divide.

En b) define la variable con palabras y escribe $X \sim B(10;\ 0{,}4)$ antes de calcular. «Como mucho $2$ » incluye el $0$ , el $1$ y el $2$ : no te dejes el $P(X = 0)$ .