Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos
Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)
Enunciado
Sara está revisando una estructura de vigas metálicas. Para ello, utiliza un programa de cálculo estructural que lleva integrado un módulo de diseño asistido por ordenador. El programa trata las vigas como segmentos entre dos puntos. Cuando dos segmentos comparten algún punto, se fijan simulando una soldadura. Para introducir un segmento basta indicar las coordenadas de los extremos del mismo.

Sara se ha dado cuenta de que una parte de la estructura no es lo suficientemente resistente. En concreto, ha encontrado dos vigas, no soldadas entre sí, que deben reforzarse, por lo que decide añadir otra viga que, soldándola a ambas, solucione el problema. Las dos vigas en cuestión son V1V_1 cuyos extremos son los puntos A(1,2,−3)A(1, 2, -3) y B(1,6,1)B(1, 6, 1) y V2V_2 cuyos extremos son los puntos C(−2,−8,7)C(-2, -8, 7) y D(10,−4,7)D(10, -4, 7).

a) (1,25 puntos) Como primera solución, Sara decide que la viga añadida esté soldada a los puntos medios de V1V_1 y V2V_2. Calcule las coordenadas de los extremos de la viga añadida y los cosenos de los ángulos que forman dicha viga con V1V_1 y con V2V_2.

b) (1,25 puntos) Haciendo un análisis más detallado, Sara encuentra que la resistencia es mayor si la viga añadida es perpendicular tanto a V1V_1 como a V2V_2. Calcule, en el caso de que sea posible, las coordenadas de los extremos de la viga añadida si se adopta esta solución.
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Resultado
a) (1,4,−1) y (4,−6,7);cos⁡α1=346173≈0,1075,cos⁡α2=17301730≈0,0240\boxed{\text{a)}\ (1, 4, -1) \text{ y } (4, -6, 7);\quad \cos\alpha_1 = \frac{\sqrt{346}}{173} \approx 0{,}1075,\quad \cos\alpha_2 = \frac{\sqrt{1730}}{1730} \approx 0{,}0240}b) (1,3,−2) y (4,−6,7)\boxed{\text{b)}\ (1, 3, -2) \text{ y } (4, -6, 7)}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Las vigas son segmentos y sus direcciones son vectores.

En a) los extremos de la nueva viga son los puntos medios de AB‾\overline{AB} y CD‾\overline{CD}. El ángulo entre dos vigas es el ángulo entre sus vectores de dirección, con el valor absoluto del producto escalar (el ángulo entre dos rectas es agudo).

En b) se busca la perpendicular común a las rectas ABAB y CDCD: se toma un punto genérico de cada recta, se impone que el vector que los une sea perpendicular a AB→\overrightarrow{AB} y a CD→\overrightarrow{CD}, y sale un sistema 2×22\times 2. Como son vigas (segmentos), al final hay que comprobar que los puntos obtenidos están dentro de V1V_1 y V2V_2; si no, la solución no sería posible.
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Desarrollo

a) Extremos. Los puntos medios sonM1=A+B2=(1, 4, −1),M2=C+D2=(4, −6, 7).M_1 = \frac{A + B}{2} = \left(1,\ 4,\ -1\right), \qquad M_2 = \frac{C + D}{2} = \left(4,\ -6,\ 7\right).La viga añadida va de M1(1,4,−1)M_1(1, 4, -1) a M2(4,−6,7)M_2(4, -6, 7), con vector M1M2→=(3,−10,8)\overrightarrow{M_1M_2} = (3, -10, 8) y ∣M1M2→∣=9+100+64=173|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{9 + 100 + 64} = \sqrt{173}.

Ángulo con V1V_1. AB→=(0,4,4)\overrightarrow{AB} = (0, 4, 4), ∣AB→∣=42|\overrightarrow{AB}| = 4\sqrt{2}, y AB→⋅M1M2→=0−40+32=−8\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{M_1M_2} = 0 - 40 + 32 = -8:cos⁡α1=∣−8∣42⋅173=2346=346173≈0,1075.\cos\alpha_1 = \frac{|-8|}{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{173}} = \frac{2}{\sqrt{346}} = \frac{\sqrt{346}}{173} \approx 0{,}1075.Ángulo con V2V_2. CD→=(12,4,0)\overrightarrow{CD} = (12, 4, 0), ∣CD→∣=160=410|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}, y CD→⋅M1M2→=36−40+0=−4\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{M_1M_2} = 36 - 40 + 0 = -4:cos⁡α2=∣−4∣410⋅173=11730=17301730≈0,0240.\cos\alpha_2 = \frac{|-4|}{4\sqrt{10}\cdot\sqrt{173}} = \frac{1}{\sqrt{1730}} = \frac{\sqrt{1730}}{1730} \approx 0{,}0240.(Los ángulos son de unos 83,8∘83{,}8^\circ y 88,6∘88{,}6^\circ: la viga de los puntos medios ya es casi perpendicular a las dos.)

b) Como direcciones de las rectas tomamos u⃗=14AB→=(0,1,1)\vec u = \frac14\overrightarrow{AB} = (0, 1, 1) y v⃗=14CD→=(3,1,0)\vec v = \frac14\overrightarrow{CD} = (3, 1, 0). Los puntos genéricos sonP=A+λu⃗=(1, 2+λ, −3+λ),Q=C+μv⃗=(−2+3μ, −8+μ, 7),P = A + \lambda\vec u = (1,\ 2 + \lambda,\ -3 + \lambda), \qquad Q = C + \mu\vec v = (-2 + 3\mu,\ -8 + \mu,\ 7),de modo que λ=0\lambda = 0 da AA y λ=4\lambda = 4 da BB, y μ=0\mu = 0 da CC y μ=4\mu = 4 da DD. El vector que los une esPQ→=(−3+3μ, −10+μ−λ, 10−λ).\overrightarrow{PQ} = (-3 + 3\mu,\ -10 + \mu - \lambda,\ 10 - \lambda).Imponemos que sea perpendicular a las dos vigas:PQ→⋅u⃗=(−10+μ−λ)+(10−λ)=μ−2λ=0,\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u = (-10 + \mu - \lambda) + (10 - \lambda) = \mu - 2\lambda = 0,PQ→⋅v⃗=3(−3+3μ)+(−10+μ−λ)=10μ−λ−19=0.\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v = 3(-3 + 3\mu) + (-10 + \mu - \lambda) = 10\mu - \lambda - 19 = 0.De la primera, μ=2λ\mu = 2\lambda; en la segunda, 20λ−λ=1920\lambda - \lambda = 19, así que λ=1\lambda = 1 y μ=2\mu = 2:P=(1,3,−2),Q=(4,−6,7).P = (1, 3, -2), \qquad Q = (4, -6, 7).¿Están en las vigas? λ=1∈[0,4]\lambda = 1 \in [0, 4], luego PP está entre AA y BB; μ=2∈[0,4]\mu = 2 \in [0, 4], luego QQ está entre CC y DD (de hecho es su punto medio M2M_2). La solución sí es posible.

Comprobación. PQ→=(3,−9,9)\overrightarrow{PQ} = (3, -9, 9):   (3,−9,9)⋅(0,4,4)=0\;(3, -9, 9)\cdot(0, 4, 4) = 0 ✓ y (3,−9,9)⋅(12,4,0)=36−36=0(3, -9, 9)\cdot(12, 4, 0) = 36 - 36 = 0 ✓. La viga mide ∣PQ→∣=171=319≈13,08|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{171} = 3\sqrt{19} \approx 13{,}08 (unidades de longitud), que es la distancia entre las dos rectas.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Para la perpendicular común, el método del punto genérico es el más seguro: dos productos escalares nulos y un sistema 2×22\times 2. Comprueba al final que el vector obtenido es perpendicular a los dos directores.

Como son segmentos, no rectas, mira que los parámetros caen entre los de los extremos: si cayeran fuera, la viga perpendicular no podría soldarse a ellas.
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