Matemáticas IIMedio2,5 pts

Integrales

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

(2,5 puntos) Se considera la función

f(x) = \frac{x^3 - x^2}{x^2 + 9}.

Calcule la primitiva

F(x)

f(x)

tal que

F(0) = \ln 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} - x + 3\operatorname{arctg}\frac{x}{3} - \frac{9}{2}\ln(x^2 + 9) + 10\ln 3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el grado del numerador (

3

) mayor que el del denominador (

2

): lo primero es dividir para escribir

f

como polinomio más una fracción propia.

El resto tiene denominador

x^2 + 9

, que no tiene raíces reales. Se parte en dos integrales:

la parte con $x$ en el numerador es casi la derivada de $x^2 + 9$ : da un logaritmo;
la parte constante es del tipo $\dfrac{1}{x^2 + a^2}$ : da un arco tangente.

Por último, la condición

F(0) = \ln 3

fija la constante de integración.

Desarrollo

División. Dividiendo

x^3 - x^2

entre

x^2 + 9

se obtiene cociente

x - 1

y resto

-9x + 9

x^3 - x^2 = (x - 1)(x^2 + 9) + (-9x + 9) \;\Longrightarrow\; f(x) = x - 1 + \frac{9 - 9x}{x^2 + 9}.

(Comprobación:

(x - 1)(x^2 + 9) = x^3 - x^2 + 9x - 9

, y sumando

-9x + 9

sale

x^3 - x^2

✓.)

Integral del cociente.

\int (x - 1)\,dx = \frac{x^2}{2} - x.

Integral del resto. Se separa en dos:

\int \frac{9 - 9x}{x^2 + 9}\,dx = 9\int \frac{dx}{x^2 + 9} - 9\int \frac{x}{x^2 + 9}\,dx.

Tipo arco tangente: $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 9} = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}\frac{x}{3}$ , así que la primera da $3\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3}$ .
Tipo logaritmo: $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 9}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2 + 9}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 9)$ , así que la segunda da $-\dfrac{9}{2}\ln(x^2 + 9)$ (no hace falta valor absoluto: $x^2 + 9 > 0$ ).

Todas las primitivas.

F(x) = \frac{x^2}{2} - x + 3\operatorname{arctg}\frac{x}{3} - \frac{9}{2}\ln(x^2 + 9) + C.

Condición $F(0) = \ln 3$ .

F(0) = 0 - 0 + 3\operatorname{arctg} 0 - \frac{9}{2}\ln 9 + C = -\frac{9}{2}\cdot 2\ln 3 + C = -9\ln 3 + C.

-9\ln 3 + C = \ln 3 \;\Longrightarrow\; C = 10\ln 3.

Comprobación. Derivando

F

F'(x) = x - 1 + \frac{3\cdot\frac13}{1 + \frac{x^2}{9}} - \frac{9}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 9} = x - 1 + \frac{9}{x^2 + 9} - \frac{9x}{x^2 + 9} = f(x)\ ✓

Consejo

En una integral racional con numerador de mayor o igual grado, divide siempre primero. Y antes de seguir, comprueba la división: cociente por divisor más resto debe dar el numerador.

Al partir $\frac{9 - 9x}{x^2 + 9}$ en dos, ojo con los factores: el logaritmo necesita un $2x$ arriba (sale $\frac12$ ) y el arco tangente con $x^2 + 9$ necesita dividir entre $3$ . Escribe $\ln 9 = 2\ln 3$ para que $C$ quede limpia.