Para la función f(x) = \sqrt{x^2 + 3x}, se pide: a) (0,75 puntos) Determinar su dominio y estudiar su paridad. b) (1 punto) Calcular los límites: \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} y \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) + x\right). c) (0,75 puntos) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) para x = 1.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Límites y continuidad

También trata: Derivadas y aplicaciones

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Para la función

f(x) = \sqrt{x^2 + 3x}

, se pide:

a) (0,75 puntos) Determinar su dominio y estudiar su paridad.

b) (1 punto) Calcular los límites:

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) + x\right)

.

c) (0,75 puntos) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f(x)

para

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \operatorname{Dom} f = (-\infty, -3] \cup [0, +\infty);\ \text{ni par ni impar}}

\boxed{\text{b)}\ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -1, \qquad \lim_{x \to -\infty} \left(f(x) + x\right) = -\frac{3}{2}}

\boxed{\text{c)}\ y = \frac{5}{4}x + \frac{3}{4}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el radicando tiene que ser no negativo: es una inecuación de segundo grado. Para la paridad se compara

f(-x)

con

f(x)

y con

-f(x)

; pero antes conviene mirar el dominio: si no es simétrico, la función no puede ser par ni impar.

En b) el truco está en el signo: cuando

x \to -\infty

x

es negativo y

\sqrt{x^2} = |x| = -x

. El primer límite sale sacando

|x|

de la raíz; el segundo es una indeterminación

\infty - \infty

que se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado.

En c), la recta tangente

y = f(1) + f'(1)(x - 1)

, con la derivada de una raíz y la regla de la cadena.

Desarrollo

a) Dominio. Hace falta

x^2 + 3x = x(x + 3) \ge 0

. El producto se anula en

x = -3

x = 0

, y es positivo fuera de ellos:

\operatorname{Dom} f = (-\infty, -3] \cup [0, +\infty).

Paridad. El dominio no es simétrico respecto del origen: por ejemplo,

1 \in \operatorname{Dom} f

pero

-1 \notin \operatorname{Dom} f

(sale

\sqrt{-2}

). Por tanto

f

no es par ni impar. También se ve con la fórmula:

f(-x) = \sqrt{x^2 - 3x}

, que no coincide ni con

f(x)

ni con

-f(x)

.

b) Para

x < 0

\sqrt{x^2} = |x| = -x

, así que

\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x^2\left(1 + \tfrac{3}{x}\right)} = -x\sqrt{1 + \tfrac{3}{x}}.

Entonces

\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(-\sqrt{1 + \tfrac{3}{x}}\right) = -1.

El segundo es

\infty - \infty

. Multiplicando y dividiendo por el conjugado:

\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} + x\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} - x}.

Dividiendo numerador y denominador entre

-x > 0

(y usando

\frac{\sqrt{x^2 + 3x}}{-x} = \sqrt{1 + \frac{3}{x}}

\lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{-3}{1 + 1} = -\frac{3}{2}.

(Estos dos límites dicen que la gráfica tiene en

-\infty

la asíntota oblicua

y = -x - \frac{3}{2}

.)

c)

f(1) = \sqrt{1 + 3} = 2

. Derivando,

f'(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \;\Longrightarrow\; f'(1) = \frac{5}{2\cdot 2} = \frac{5}{4}.

La recta tangente en

x = 1

y - 2 = \frac{5}{4}(x - 1) \;\Longleftrightarrow\; y = \frac{5}{4}x + \frac{3}{4}.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más frecuente en b) es escribir $\sqrt{x^2} = x$ cuando $x \to -\infty$ : así sale $+1$ en lugar de $-1$ y $+\frac32$ en lugar de $-\frac32$ . Con $x$ negativo, $\sqrt{x^2} = -x$ .

Para descartar la paridad basta un contraejemplo bien elegido: un punto del dominio cuyo opuesto no está en él.