Matrices

a) Multiplicando,$$DA = \begin{pmatrix} x/3 & 0 & x/2 \\ y/3 & y/2 & y/4 \\ z/3 & z/2 & z/4 \end{pmatrix}.$$Sumas de las columnas iguales a $1$:$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x + y + z}{3} = 1 \\[6pt] \dfrac{y + z}{2} = 1 \\[6pt] \dfrac{x}{2} + \dfrac{y + z}{4} = 1 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ y + z = 2 \\ 2x + y + z = 4 \end{array}\right.$$Restando la segunda de la primera, $x = 1$; con ese valor la tercera queda $2 + y + z = 4$, es decir, $y + z = 2$ otra vez. El sistema es compatible indeterminado:$$x = 1, \qquad y = \mu, \qquad z = 2 - \mu, \qquad \mu \in \mathbb{R}.$$Elementos no negativos. Todos los elementos de $A$ de las filas $2$ y $3$ son positivos, así que los de $DA$ son no negativos si y solo si $y \ge 0$ y $z \ge 0$ (y $x = 1 > 0$ no da problemas):$$\mu \ge 0 \quad \text{y} \quad 2 - \mu \ge 0 \;\Longrightarrow\; 0 \le \mu \le 2.$$Las matrices pedidas son$$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \mu \end{pmatrix}, \qquad \mu \in [0, 2].$$Por ejemplo, con $\mu = 1$ sale la identidad (y $DA = A$), como debe ser.

b) Si $D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix}$, la columna $j$ de $BD$ es la columna $j$ de $B$ multiplicada por $d_j$. Como cada columna de $B$ suma $1$, la columna $j$ de $BD$ suma$$d_j \cdot 1 = d_j.$$Para que $BD$ sea estocástica, cada columna debe sumar $1$, luego $d_1 = d_2 = d_3 = 1$, es decir, $D = I$. No existe ninguna matriz diagonal distinta de la identidad que lo cumpla.