Matemáticas IIMedio2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Sea el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{l} \lambda x - y + 3z = 2 \\ 3x - 2y - z = 9 \\ 5x - 3y + \lambda z = 11 \end{array}\right.

a) (1,5 puntos) Decida en función de los valores del parámetro real

\lambda

en qué casos el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) (1 punto) Resuelva el sistema en el caso

\lambda = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \lambda \neq \pm 2:\ \text{S.C.D.};\quad \lambda = 2:\ \text{S.C.I.};\quad \lambda = -2:\ \text{incompatible}}

\boxed{\text{b)}\ (x, y, z) = (-5 - 7t,\ -12 - 11t,\ t),\ t \in \mathbb{R}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una discusión por el teorema de Rouché-Frobenius. Con tres ecuaciones y tres incógnitas, el camino más corto es:

Calcular el determinante de la matriz de coeficientes y ver para qué $\lambda$ se anula.
Para los demás valores, rango $3$ en las dos matrices: compatible determinado.
Para cada valor que lo anula, comparar el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

En b) el sistema es compatible indeterminado: se resuelve por Gauss y la solución depende de un parámetro.

Desarrollo

a) Sean

A

la matriz de coeficientes y

A^*

la ampliada:

A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 3 \\ 3 & -2 & -1 \\ 5 & -3 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & -1 & 9 \\ 5 & -3 & \lambda & 11 \end{array}\right).

Desarrollando por la primera fila,

|A| = \lambda\,(-2\lambda - 3) + 1\cdot(3\lambda + 5) + 3\,(-9 + 10) = -2\lambda^2 - 3\lambda + 3\lambda + 5 + 3 = 8 - 2\lambda^2.

|A| = 0 \iff \lambda^2 = 4 \iff \lambda = 2 \ \text{ o } \ \lambda = -2.

Si $\lambda \neq \pm 2$ : $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas. Compatible determinado.

Si $\lambda = -2$ : el menor $\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -9 + 10 = 1 \neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(A) = 2$ . En la ampliada, orlando con la columna de términos independientes,

\begin{vmatrix} -2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 9 \\ 5 & -3 & 11 \end{vmatrix} = -2(-22 + 27) + 1(33 - 45) + 2(-9 + 10) = -10 - 12 + 2 = -20 \neq 0,

luego

\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)

. Incompatible.

Si $\lambda = 2$ : el mismo menor da $\operatorname{rg}(A) = 2$ . Los menores de orden $3$ de la ampliada que contienen la columna de términos independientes son nulos:

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 9 \\ 5 & -3 & 11 \end{vmatrix} = 2(-22 + 27) + 1(33 - 45) + 2(-9 + 10) = 10 - 12 + 2 = 0,

\begin{vmatrix} -1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 9 \\ -3 & 2 & 11 \end{vmatrix} = -1(-11 - 18) - 3(-22 + 27) + 2(-4 - 3) = 29 - 15 - 14 = 0,

así que

\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3

. Compatible indeterminado (de hecho, la tercera ecuación es la suma de las dos primeras).

b) Para

\lambda = 2

, por Gauss:

\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & -1 & 9 \\ 5 & -3 & 2 & 11 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 - F_1 - F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & -1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

\xrightarrow{F_2 - F_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{F_1 - F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & -5 \\ 1 & -1 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).

Tomando

z = t

: de la primera,

x = -5 - 7t

; de la segunda,

y = x - 4z - 7 = -5 - 7t - 4t - 7 = -12 - 11t

(x, y, z) = (-5 - 7t,\ -12 - 11t,\ t), \qquad t \in \mathbb{R}.

Comprobación en las tres ecuaciones:

$2(-5 - 7t) - (-12 - 11t) + 3t = -10 - 14t + 12 + 11t + 3t = 2$ ✓
$3(-5 - 7t) - 2(-12 - 11t) - t = -15 - 21t + 24 + 22t - t = 9$ ✓
$5(-5 - 7t) - 3(-12 - 11t) + 2t = -25 - 35t + 36 + 33t + 2t = 11$ ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada uno de los tres casos vale medio punto: no basta con decir «si $\lambda = \pm 2$ el determinante es nulo», hay que estudiar el rango de la ampliada en cada valor por separado, porque uno da incompatible y el otro indeterminado.

En b) comprueba la solución general en las tres ecuaciones: un error de signo en Gauss se ve enseguida.