Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio

Enunciado

Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el

20\%

de la población tiene entre

14

24

años, el

50\%

entre

25

64

y el resto más de

64

años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el

74\%

de sus ciudadanos de entre

14

24

es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el

65{,}8\%

entre los de

25

64

y al

53{,}7\%

entre los mayores de

64

. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de

14

años o más, se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.

b) (1,25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre

25

64

años.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P(L) = 0{,}6381\;}

\boxed{\;\text{b)}\ P(E_2 \mid \overline{L}) = \frac{0{,}171}{0{,}3619} \approx 0{,}4725\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes. Los tres grupos de edad forman una partición de la población (todo ciudadano está en uno y solo uno), y de cada grupo sabemos qué proporción lee. Lo dibujamos en un árbol: primera rama, la edad; segunda, si es lector o no.

En a) sumamos los caminos que acaban en "lector" (probabilidad total). En b) nos dan el resultado ("no lector") y preguntan por la causa (la edad): es Bayes, el camino favorable entre todos los que acaban en "no lector".

Desarrollo

Sucesos.

E_1

: tener entre 14 y 24 años;

E_2

: entre 25 y 64;

E_3

: más de 64;

L

: ser lector habitual.

P(E_1) = 0{,}2, \qquad P(E_2) = 0{,}5, \qquad P(E_3) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3

P(L \mid E_1) = 0{,}74, \qquad P(L \mid E_2) = 0{,}658, \qquad P(L \mid E_3) = 0{,}537

y por complementarios,

P(\overline{L} \mid E_1) = 0{,}26

P(\overline{L} \mid E_2) = 0{,}342

P(\overline{L} \mid E_3) = 0{,}463

.

Árbol (probabilidad de cada camino = producto de sus ramas):

Edad	$P(E_i)$	$P(L \mid E_i)$	$P(E_i \cap L)$	$P(E_i \cap \overline{L})$
14 a 24	$0{,}2$	$0{,}74$	$0{,}148$	$0{,}052$
25 a 64	$0{,}5$	$0{,}658$	$0{,}329$	$0{,}171$
Más de 64	$0{,}3$	$0{,}537$	$0{,}1611$	$0{,}1389$

a) Por el teorema de la probabilidad total, ya que

E_1, E_2, E_3

son una partición:

P(L) = P(E_1)P(L \mid E_1) + P(E_2)P(L \mid E_2) + P(E_3)P(L \mid E_3)

P(L) = 0{,}2\cdot 0{,}74 + 0{,}5\cdot 0{,}658 + 0{,}3\cdot 0{,}537 = 0{,}148 + 0{,}329 + 0{,}1611 = 0{,}6381

Aproximadamente el

63{,}81\%

de los ciudadanos de 14 años o más son lectores habituales.

b) Nos piden

P(E_2 \mid \overline{L})

. Primero,

P(\overline{L}) = 1 - 0{,}6381 = 0{,}3619

. Por el teorema de Bayes:

P(E_2 \mid \overline{L}) = \frac{P(E_2)\,P(\overline{L} \mid E_2)}{P(\overline{L})} = \frac{0{,}5\cdot 0{,}342}{0{,}3619} = \frac{0{,}171}{0{,}3619} \approx 0{,}4725

Comprobación: la suma de la última columna es

0{,}052 + 0{,}171 + 0{,}1389 = 0{,}3619 = P(\overline{L})

✓. Y las tres probabilidades a posteriori suman

1

\frac{0{,}052 + 0{,}171 + 0{,}1389}{0{,}3619} = 1

✓.

En la simulación está el árbol con estos datos y resaltada la pregunta de b).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el dato "si no es lector habitual" es la condición: va en el denominador. El error típico es dar $P(\overline{L} \mid E_2) = 0{,}342$ , que es la probabilidad al revés (de no leer sabiendo la edad).

Usa siempre $P(\overline{L}) = 1 - P(L)$ con el valor de a), o la suma de los caminos que acaban en "no lector", y escribe el planteamiento con los sucesos nombrados antes de los números: es lo que puntúa la corrección (0,75 puntos de planteamiento en cada apartado).