Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio

Enunciado

Sea

E = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}

un espacio muestral y

P

una medida de probabilidad en

E

definida por:

P(7) = P(3) = \dfrac{1}{4}

y con el resto de sucesos elementales equiprobables.

Se consideran los sucesos

A = \{7, 11, 13, 19\}

B = \{2, 5, 7, 13, 17\}

C = \{3, 5, 7, 11, 13\}

. Se pide calcular:

a) (1,25 puntos)

P\left(\overline{(A - C)} \cap B\right)

.

b) (1,25 puntos)

P\left((A \cap B) \mid \overline{C}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P\left(\overline{(A - C)} \cap B\right) = P(B) = \frac{7}{12}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ P\left((A \cap B) \mid \overline{C}\right) = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es completar la "tabla" de probabilidades: hay ocho resultados, dos de ellos con probabilidad

\frac{1}{4}

y los otros seis con la misma probabilidad

p

, que sale de imponer que todo suma

1

. Ojo: no es una regla de Laplace con

8

casos, porque los resultados no son equiprobables.

Después, en cada apartado, operamos con los conjuntos explícitamente (listando sus elementos) antes de calcular nada. En a),

A - C

son los de

A

que no están en

C

; su contrario y la intersección con

B

se ven a simple vista. En b), la definición de probabilidad condicionada:

P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}

Desarrollo

Probabilidades elementales. Sea

p

la probabilidad común de

2, 5, 11, 13, 17

19

. Como

P(E) = 1

P(3) + P(7) + 6p = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 6p = 1 \;\Longrightarrow\; 6p = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; p = \frac{1}{12}

Resultado	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$
Probabilidad	$\frac{1}{12}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$

(Suma:

\frac{6 + 3 + 3}{12} = 1

✓.)

a)

A - C = A \cap \overline{C}

son los elementos de

A

que no están en

C

. De

A = \{7, 11, 13, 19\}

, los tres primeros están en

C

, así que

A - C = \{19\}, \qquad \overline{A - C} = E \setminus \{19\} = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\}

Como

19 \notin B

, todo

B

está dentro de

\overline{A - C}

\overline{(A - C)} \cap B = B = \{2, 5, 7, 13, 17\}

P\left(\overline{(A - C)} \cap B\right) = P(B) = P(2) + P(5) + P(7) + P(13) + P(17) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}

b) Calculamos los dos sucesos que intervienen:

A \cap B = \{7, 13\}, \qquad \overline{C} = E \setminus C = \{2, 17, 19\}

P(\overline{C}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \neq 0

, así que la condicionada está definida:

P\left((A \cap B) \mid \overline{C}\right) = \frac{P\left((A \cap B) \cap \overline{C}\right)}{P(\overline{C})}

Pero

7

13

están ambos en

C

, luego

(A \cap B) \cap \overline{C} = \emptyset

P\left((A \cap B) \mid \overline{C}\right) = \frac{P(\emptyset)}{1/4} = \frac{0}{1/4} = 0

Tiene sentido:

A \cap B \subset C

, así que si sabemos que no ha ocurrido

C

, es imposible que haya ocurrido

A \cap B

.

Comprobación de a) por el complementario:

P\left(\overline{(A - C)} \cap B\right) = P(B) - P\bigl((A - C) \cap B\bigr) = P(B) - P(\emptyset) = \frac{7}{12}

✓.

Consejo

El error más frecuente es aplicar Laplace y contar casos: $P(B) = \frac{5}{8}$ . Aquí el $3$ y el $7$ pesan tres veces más que los demás, así que hay que sumar probabilidades, no contar elementos. Calcula primero $p = \frac{1}{12}$ y escribe la tabla.

Lista siempre los elementos de cada suceso antes de operar ( $A - C = \{19\}$ , $\overline{C} = \{2, 17, 19\}$ ): con conjuntos tan pequeños es la forma más segura de no equivocarse con diferencias y complementarios.