Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio

Enunciado

Dados la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{0} = \dfrac{z-2}{1}

y el plano

\pi \colon x + 2y - 3z = 1

, se pide:

a) (0,75 puntos) Hallar una ecuación del plano que contiene a

r

y es perpendicular a

\pi

.

b) (0,75 puntos) Hallar una ecuación de la recta contenida en

\pi

que corta perpendicularmente a

r

.

c) (1 punto) Calcular los puntos de la recta

r

cuya distancia al plano

\pi

\sqrt{14}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ 2x - 7y - 4z + 6 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \frac{x + 11}{-2} = \frac{y}{7} = \frac{z + 4}{4}\;}

\boxed{\;\text{c)}\ (17,\ 0,\ 10) \ \text{ y } \ (-39,\ 0,\ -18)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero leemos bien la recta: el

0

del denominador de

y

no es una división, es la segunda coordenada del vector director. Significa que

y

no cambia a lo largo de la recta:

y = 0

siempre.

En a), un plano que contiene a

r

tiene la dirección de

r

; si además es perpendicular a

\pi

, contiene la dirección del normal de

\pi

. Con dos direcciones y un punto de

r

, la normal del plano es su producto vectorial.

En b), la recta buscada está en

\pi

y corta a

r

, así que tiene que pasar por el único punto en que

r

atraviesa

\pi

. Su dirección debe ser perpendicular a la de

r

(corta perpendicularmente) y a la normal de

\pi

(está en el plano): otra vez un producto vectorial, el mismo de a).

En c) tomamos un punto genérico de

r

con su parámetro, imponemos la distancia al plano y resolvemos una ecuación con valor absoluto, que da dos soluciones (una a cada lado del plano).

Desarrollo

Datos. De la ecuación continua,

P_r(1,\ 0,\ 2) \in r, \quad \vec{v}_r = (2,\ 0,\ 1); \qquad r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2\lambda \\ y = 0 \\ z = 2 + \lambda \end{array}\right. \qquad \vec{n}_\pi = (1,\ 2,\ -3)

Como

\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 2 + 0 - 3 = -1 \neq 0

, la recta no es paralela a

\pi

: lo corta en un punto.

a) El plano

\sigma

pedido contiene a

P_r

y tiene direcciones

\vec{v}_r

\vec{n}_\pi

(no proporcionales). Su normal:

\vec{n}_\sigma = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (0 - 2)\,\vec{i} - (-6 - 1)\,\vec{j} + (4 - 0)\,\vec{k} = (-2,\ 7,\ 4)

Imponiendo que pase por

P_r(1, 0, 2)

-2(x - 1) + 7y + 4(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; -2x + 7y + 4z - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv 2x - 7y - 4z + 6 = 0

Comprobación:

P_r

2 - 0 - 8 + 6 = 0

✓; otro punto de

r

(3, 0, 3)

6 - 12 + 6 = 0

✓; perpendicularidad,

\vec{n}_\sigma \cdot \vec{n}_\pi = 2 - 14 + 12 = 0

✓.

b) Punto de corte de $r$ y $\pi$ . Sustituyendo las paramétricas de

r

\pi

(1 + 2\lambda) + 2\cdot 0 - 3(2 + \lambda) = 1 \;\Longrightarrow\; -\lambda - 5 = 1 \;\Longrightarrow\; \lambda = -6

M = (1 - 12,\ 0,\ 2 - 6) = (-11,\ 0,\ -4)

La recta

t

buscada está contenida en

\pi

y corta a

r

; como

r

solo toca a

\pi

M

, la recta

t

pasa por

M

.

Dirección. Ha de ser perpendicular a

\vec{v}_r

(corta a

r

perpendicularmente) y a

\vec{n}_\pi

(está dentro de

\pi

). Sirve el producto vectorial de a):

\vec{d}_t = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = (-2,\ 7,\ 4)

t \equiv \frac{x + 11}{-2} = \frac{y}{7} = \frac{z + 4}{4}

Comprobación:

M \in \pi

-11 + 0 + 12 = 1

✓;

\vec{d}_t \cdot \vec{n}_\pi = -2 + 14 - 12 = 0

✓, luego

t \subset \pi

;

\vec{d}_t \cdot \vec{v}_r = -4 + 0 + 4 = 0

✓, perpendicular a

r

.

c) Un punto genérico de

r

X_\lambda = (1 + 2\lambda,\ 0,\ 2 + \lambda)

. Escribiendo

\pi \equiv x + 2y - 3z - 1 = 0

d(X_\lambda, \pi) = \frac{\bigl|(1 + 2\lambda) + 0 - 3(2 + \lambda) - 1\bigr|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-\lambda - 6|}{\sqrt{14}}

Igualando a

\sqrt{14}

|\lambda + 6| = 14 \;\Longrightarrow\; \lambda + 6 = 14 \ \text{ o } \ \lambda + 6 = -14 \;\Longrightarrow\; \lambda = 8 \ \text{ o } \ \lambda = -20

$\lambda = 8$ : $X_1 = (17,\ 0,\ 10)$ .
$\lambda = -20$ : $X_2 = (-39,\ 0,\ -18)$ .

Comprobación:

X_1

17 + 0 - 30 - 1 = -14

, y

\frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}

✓.

X_2

-39 + 0 + 54 - 1 = 14

, y

\frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}

✓. Además los dos son simétricos respecto de

M

(

\lambda = -6 \pm 14

): uno a cada lado del plano, como era de esperar.

En la simulación aparecen

r

, el plano

\pi

, su punto de corte y el punto

X_1 = (17, 0, 10)

con su distancia a

\pi

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un $0$ en el denominador de la ecuación continua no es un error del enunciado: es una componente nula del vector director y significa que esa coordenada es constante ( $y = 0$ ). No lo tomes como una división ni como $y$ libre.

En b), justifica por qué la recta pasa por el punto de corte de $r$ con $\pi$ : es lo que vale el planteamiento. Y en c) el valor absoluto da dos puntos; quedarse con uno solo cuesta la mitad de la resolución.