Integrales

a) $f$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Por la regla de la cadena,$$f'(x) = -\frac{\pi}{9}\,\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{9}\right)$$Para $x \in [0, 12]$ el ángulo $\dfrac{\pi x}{9}$ recorre $\left[0, \dfrac{4\pi}{3}\right]$, y ahí el seno solo se anula en $0$ y en $\pi$. Luego$$f'(x) = 0 \iff \frac{\pi x}{9} = 0 \ \text{ o } \ \frac{\pi x}{9} = \pi \iff x = 0 \ \text{ o } \ x = 9$$Evaluamos $f$ en los candidatos (puntos críticos y extremos del intervalo):$$f(0) = \cos 0 + 2 = 3, \qquad f(9) = \cos\pi + 2 = 1, \qquad f(12) = \cos\frac{4\pi}{3} + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$$Por el teorema de Weierstrass ($f$ continua en un cerrado) los extremos absolutos existen y están entre estos valores:

• Máximo: $3$, en $x = 0$.
• Mínimo: $1$, en $x = 9$.

(Coincide con lo que dice el coseno: vale entre $-1$ y $1$, así que $f$ vale entre $1$ y $3$, y en $[0,12]$ alcanza los dos valores.)

¿Está la curva dentro del muro? Sí. El muro ocupa $0 \le x \le 12$ y $0 \le y \le 3$, y para todo $x \in [0, 12]$ se cumple $1 \le f(x) \le 3$. La curva solo toca el borde superior del muro en la esquina $(0, 3)$.

b) Región de abajo. Como $f(x) \ge 1 > 0$, el área entre la curva y el suelo es directamente la integral:$$A_{\text{abajo}} = \int_0^{12} \left(\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2\right) dx = \left[\frac{9}{\pi}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2x\right]_0^{12}$$(La primitiva del coseno lleva el factor $\frac{9}{\pi}$, el inverso de la derivada del ángulo.) Aplicando Barrow:$$A_{\text{abajo}} = \frac{9}{\pi}\operatorname{sen}\left(\frac{4\pi}{3}\right) + 24 - 0 = \frac{9}{\pi}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 24 = 24 - \frac{9\sqrt{3}}{2\pi} \approx 21{,}52 \ \text{m}^2$$Región de arriba. Entre la curva y $y = 3$, que es el resto del muro ($f \le 3$ en todo el intervalo):$$A_{\text{arriba}} = \int_0^{12} \bigl(3 - f(x)\bigr)\,dx = 36 - A_{\text{abajo}} = 12 + \frac{9\sqrt{3}}{2\pi} \approx 14{,}48 \ \text{m}^2$$Comprobación: $21{,}52 + 14{,}48 = 36 = 12 \cdot 3$, el área del muro.

c) Con un bote se pintan $3\ \text{m}^2$:$$\frac{A_{\text{abajo}}}{3} = 8 - \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 7{,}17 \ \text{botes}$$Con $7$ botes solo se cubren $21\ \text{m}^2 < 21{,}52\ \text{m}^2$, así que hay que comprar como mínimo 8 botes.

En la simulación se ve el área bajo la curva en $[0, 12]$ (la región de abajo); poniendo $g(x) = 3$ se obtiene la de arriba.