Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2025 · Julio

Enunciado

La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de

0{,}08

y en un día seco es de

0{,}004

. La probabilidad de que llueva y se caiga es de

0{,}032

. Hoy un corredor ha salido. Se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído.

b) (1,25 puntos) Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } P(\overline{C}) = 0{,}9656}

\boxed{\text{b) } P(\overline{L} \mid C) = \frac{3}{43} \approx 0{,}0698}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es traducir cada dato a lenguaje de sucesos, porque el enunciado mezcla dos tipos de probabilidad: "en un día con lluvia" y "en un día seco" son condicionadas (

P(C \mid L)

P(C \mid \overline{L})

), mientras que "que llueva y se caiga" es una intersección,

P(L \cap C)

.

Falta la probabilidad de que llueva, que es la que necesita el árbol. Sale de la definición de probabilidad condicionada:

P(L \cap C) = P(L)\cdot P(C \mid L)

. Con el árbol completo, a) es la probabilidad total de no caerse y b) es un teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

L

= "el día es lluvioso",

\overline{L}

= "el día es seco",

C

= "el corredor se cae" y

\overline{C}

= "vuelve sin caerse". Los datos son

P(C \mid L) = 0{,}08, \qquad P(C \mid \overline{L}) = 0{,}004, \qquad P(L \cap C) = 0{,}032

Probabilidad de lluvia. Por la definición de probabilidad condicionada:

P(L \cap C) = P(L)\cdot P(C \mid L) \;\Longrightarrow\; P(L) = \frac{0{,}032}{0{,}08} = 0{,}4, \qquad P(\overline{L}) = 0{,}6

Árbol. Primera rama, el tiempo:

L

(

0{,}4

) y

\overline{L}

(

0{,}6

). Segunda rama, la caída:

Con lluvia: $C$ ( $0{,}08$ ) y $\overline{C}$ ( $0{,}92$ ). Hojas: $P(L \cap C) = 0{,}032$ y $P(L \cap \overline{C}) = 0{,}368$ .
Día seco: $C$ ( $0{,}004$ ) y $\overline{C}$ ( $0{,}996$ ). Hojas: $P(\overline{L} \cap C) = 0{,}0024$ y $P(\overline{L} \cap \overline{C}) = 0{,}5976$ .

Las cuatro hojas suman

0{,}032 + 0{,}368 + 0{,}0024 + 0{,}5976 = 1

.

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(\overline{C}) = P(L)\cdot P(\overline{C} \mid L) + P(\overline{L})\cdot P(\overline{C} \mid \overline{L}) = 0{,}4\cdot 0{,}92 + 0{,}6\cdot 0{,}996 = 0{,}368 + 0{,}5976 = 0{,}9656

Equivalentemente,

P(C) = 0{,}032 + 0{,}0024 = 0{,}0344

P(\overline{C}) = 1 - 0{,}0344 = 0{,}9656

.

b) Nos piden

P(\overline{L} \mid C)

. Por el teorema de Bayes:

P(\overline{L} \mid C) = \frac{P(\overline{L})\cdot P(C \mid \overline{L})}{P(C)} = \frac{0{,}6\cdot 0{,}004}{0{,}0344} = \frac{0{,}0024}{0{,}0344} = \frac{3}{43} \approx 0{,}0698

Comprobación.

P(L \mid C) = \frac{0{,}032}{0{,}0344} = \frac{40}{43} \approx 0{,}9302

, y

\frac{40}{43} + \frac{3}{43} = 1

. Tiene sentido: aunque los días secos son mayoría, en ellos casi nadie se cae, así que si sabemos que se ha caído lo más probable, con mucho, es que esté lloviendo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dato trampa es "la probabilidad de que llueva y se caiga es 0,032": es una intersección, no una condicionada. Si la colocas en una rama del árbol como $P(C \mid L)$ , todo lo demás sale mal. Escribe cada dato con su notación antes de dibujar el árbol.

En b) el orden importa: "sabiendo que se ha caído" va detrás de la barra, $P(\overline{L} \mid C)$ , y es lo que obliga a usar Bayes con $P(C)$ en el denominador.