Distribución normal

Sea $X$ = "masa en kg de un hombre de esta población", con $X \sim N(\mu = 75{,}67;\ \sigma = 11{,}05)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos los dos extremos:$$z_1 = \frac{60 - 75{,}67}{11{,}05} = \frac{-15{,}67}{11{,}05} \approx -1{,}42, \qquad z_2 = \frac{80 - 75{,}67}{11{,}05} = \frac{4{,}33}{11{,}05} \approx 0{,}39$$$$P(60 \le X \le 80) = P(-1{,}42 \le Z \le 0{,}39) = P(Z \le 0{,}39) - P(Z < -1{,}42)$$Por la simetría de la normal, $P(Z < -1{,}42) = 1 - P(Z \le 1{,}42)$. De la tabla, $P(Z \le 0{,}39) = 0{,}6517$ y $P(Z \le 1{,}42) = 0{,}9222$:$$P(60 \le X \le 80) = 0{,}6517 - (1 - 0{,}9222) = 0{,}6517 - 0{,}0778 = 0{,}5739$$b) Tipificamos:$$z = \frac{100 - 75{,}67}{11{,}05} = \frac{24{,}33}{11{,}05} \approx 2{,}20$$$$P(X > 100) = P(Z > 2{,}20) = 1 - P(Z \le 2{,}20) = 1 - 0{,}9861 = 0{,}0139$$c) Sea $T$ = "número de hombres, de los 10 elegidos, con masa superior a 100 kg". Cada hombre supera los 100 kg con probabilidad $p = 0{,}0139$ (apartado b) independientemente de los demás (la población es muy grande), así que$$T \sim B(n = 10;\ p = 0{,}0139), \qquad P(T = k) = \binom{10}{k}p^k(1 - p)^{10 - k}$$"No más de uno" es $T \le 1$:$$P(T \le 1) = P(T = 0) + P(T = 1) = (0{,}9861)^{10} + 10\cdot 0{,}0139\cdot(0{,}9861)^9$$$$P(T \le 1) \approx 0{,}8694 + 0{,}1225 = 0{,}9919$$Comprobación de sentido. En a) el intervalo contiene a la media y va de $1{,}42$ desviaciones típicas por debajo a $0{,}39$ por encima, así que algo más de la mitad es razonable. En b) 100 kg está a más de dos desviaciones por encima de la media: una probabilidad pequeña, cerca del $1{,}4\ \%$. En c), con una probabilidad tan baja, lo normal es que de diez hombres ninguno o como mucho uno pase de 100 kg: el $99\ \%$ encaja.