Rectas y planos

a) Direcciones del plano:$$\overrightarrow{AB} = (1,\ 0,\ 0), \qquad \vec{k} = (0,\ 0,\ 1)$$No son proporcionales, así que determinan un plano. Su normal:$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \vec{k} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0 - 0)\,\vec{i} - (1 - 0)\,\vec{j} + (0 - 0)\,\vec{k} = (0,\ -1,\ 0)$$El plano es $-y + D = 0$; como pasa por $A(0, 0, 1)$, $D = 0$:$$\pi \equiv y = 0$$Comprobación: $A$ y $B$ tienen $y = 0$, y el director de $OZ$ cumple $\vec{n}\cdot\vec{k} = 0$. (De hecho este plano contiene al propio eje $OZ$, cuyos puntos $(0, 0, t)$ tienen $y = 0$: su dirección es la del eje, que es lo que pide la condición de paralelismo.)

b) El plano $z = 1$ tiene normal $(0, 0, 1)$. Una recta perpendicular a él tiene ese vector como director y pasa por un punto $P(x_0, y_0, 1)$ del plano:$$s \equiv (x,\ y,\ z) = (x_0,\ y_0,\ 1 + \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Distancia de $A$ a $s$. Con $\overrightarrow{PA} = (-x_0,\ -y_0,\ 0)$ y $\vec{w} = (0, 0, 1)$:$$\overrightarrow{PA} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -x_0 & -y_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-y_0,\ x_0,\ 0), \qquad d(A, s) = \frac{|\overrightarrow{PA} \times \vec{w}|}{|\vec{w}|} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$$Distancia de $B$ a $s$. Igual, con $\overrightarrow{PB} = (1 - x_0,\ -y_0,\ 0)$:$$d(B, s) = \sqrt{(x_0 - 1)^2 + y_0^2}$$Imponemos que las dos valgan 1:$$\left\{\begin{array}{l} x_0^2 + y_0^2 = 1 \\ (x_0 - 1)^2 + y_0^2 = 1 \end{array}\right.$$Restando la segunda de la primera: $x_0^2 - (x_0 - 1)^2 = 0 \Rightarrow 2x_0 - 1 = 0 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{2}$. Llevándolo a la primera:$$y_0^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \;\Longrightarrow\; y_0 = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$Hay dos soluciones (los dos puntos que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$ dentro del plano $z = 1$):$$s_1 \equiv (x,\ y,\ z) = \left(\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \lambda\right), \qquad s_2 \equiv (x,\ y,\ z) = \left(\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \lambda\right), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$En forma implícita, $s_1 \equiv \left\{ x = \frac{1}{2},\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} \right\}$. El enunciado pide una recta: cualquiera de las dos es correcta.

Comprobación con $s_1$: el punto de $s_1$ más cercano a $A$ es $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, a distancia $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ de $A$; y a distancia $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ de $B(1, 0, 1)$. Además su director $(0, 0, 1)$ es la normal de $z = 1$.