Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2025 · Julio

Enunciado

Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}

, se pide:

a) (1,5 puntos) Hallar las matrices simétricas

B

que verifiquen

BA = (A + A^2)B

.

b) (1 punto) Con la matriz

A_1 = A

, se consideran las matrices

A_2 = A_1^2 + A_1

A_3 = A_2^2 + A_2

A_4 = A_3^2 + A_3

y así sucesivamente. Hallar

A_{2025}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } B = \begin{pmatrix} \lambda & -\lambda \\ -\lambda & -\lambda \end{pmatrix},\ \lambda \in \mathbb{R}}

\boxed{\text{b) } A_{2025} = A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) "simétrica" quiere decir

B = B^t

: en orden 2, los dos elementos fuera de la diagonal son iguales, así que

B

tiene solo tres incógnitas

a

b

c

. Calculamos

A + A^2

, hacemos los dos productos e igualamos elemento a elemento. Saldrá un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones con tres incógnitas que tiene infinitas soluciones: hay que dejarlas todas en función de un parámetro. Ojo con el orden:

BA

lleva

B

a la izquierda y

(A + A^2)B

a la derecha, y el producto de matrices no es conmutativo.

En b) no hay que buscar una fórmula general: calculamos las primeras matrices de la sucesión y, en cuanto una se repite, la sucesión entra en un ciclo. Como cada término depende solo del anterior, basta con ver una repetición para justificar el ciclo entero.

Desarrollo

a) Primero,

A^2

A + A^2

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 5 & 5 - 15 \\ -1 + 3 & -5 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -10 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

A + A^2 = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Tomamos

B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}

(simétrica). Los dos productos son

BA = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - b & 5a - 3b \\ b - c & 5b - 3c \end{pmatrix}

(A + A^2)B = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3a - 5b & -3b - 5c \\ a + b & b + c \end{pmatrix}

Igualando elemento a elemento:

\left\{\begin{array}{l} a - b = -3a - 5b \\ 5a - 3b = -3b - 5c \\ b - c = a + b \\ 5b - 3c = b + c \end{array}\right. \;\Longleftrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} 4a + 4b = 0 \\ 5a + 5c = 0 \\ a + c = 0 \\ 4b - 4c = 0 \end{array}\right. \;\Longleftrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} b = -a \\ c = -a \\ c = -a \\ b = c \end{array}\right.

Las cuatro ecuaciones se reducen a

b = c = -a

, con

a

libre. Llamando

a = \lambda

B = \begin{pmatrix} \lambda & -\lambda \\ -\lambda & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}

(Para

\lambda = 0

sale la matriz nula, que también cumple la condición.)

Comprobación con

\lambda = 1

BA = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \qquad (A + A^2)B = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

b) Calculamos los primeros términos.

A_1 = A

y, por el apartado anterior,

A_2 = A_1^2 + A_1 = A^2 + A = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Para

A_3

necesitamos

A_2^2

A_2^2 = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 5 & 15 - 5 \\ -3 + 1 & -5 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}

A_3 = A_2^2 + A_2 = \begin{pmatrix} 4 - 3 & 10 - 5 \\ -2 + 1 & -4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = A_1

Cada término se obtiene solo a partir del anterior con la misma regla (

A_{n+1} = A_n^2 + A_n

). Como

A_3 = A_1

, se repite todo:

A_4 = A_3^2 + A_3 = A_1^2 + A_1 = A_2

A_5 = A_3 = A_1

… y en general

A_n = \begin{cases} A_1 & \text{si } n \text{ es impar} \\ A_2 & \text{si } n \text{ es par} \end{cases}

Como

2025

es impar:

A_{2025} = A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) el error típico es multiplicar en el orden equivocado: $BA$ no es $AB$ . Escribe cada producto con su orden y no "simplifiques" $B$ a un lado y a otro como si fueran números.

En b) no basta con "se ve que se repite": di que cada $A_{n+1}$ depende solo de $A_n$ , así que en cuanto $A_3 = A_1$ la sucesión alterna $A_1, A_2, A_1, A_2\ldots$ Esa frase es la "resolución de la recurrencia" que puntúa la corrección.