Distribución normal

Sea $X$ = "altura en cm de un estudiante", $X \sim N(\mu = 174;\ \sigma = 12)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos los extremos:$$z_1 = \frac{162 - 174}{12} = -1, \qquad z_2 = \frac{186 - 174}{12} = 1$$$$P(162 \le X \le 186) = P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z < -1)$$Por simetría, $P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1)$, así que$$P(-1 \le Z \le 1) = 2\,P(Z \le 1) - 1 = 2\cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826$$El 68,26 % de los estudiantes mide entre 162 y 186 cm.

b) Buscamos la altura $a$ tal que $P(X > a) = 0{,}67$, o sea, $P(X \le a) = 0{,}33$. Como $0{,}33 < 0{,}5$, $a$ está por debajo de la media y su tipificado $z_a$ es negativo. Por simetría:$$P(Z \le z_a) = 0{,}33 \;\Longrightarrow\; P(Z \le -z_a) = 1 - 0{,}33 = 0{,}67$$En la tabla, $P(Z \le 0{,}44) = 0{,}6700$, así que $-z_a = 0{,}44$, es decir, $z_a = -0{,}44$. Deshacemos la tipificación:$$\frac{a - 174}{12} = -0{,}44 \;\Longrightarrow\; a = 174 - 0{,}44\cdot 12 = 174 - 5{,}28 = 168{,}72\ \text{cm}$$Es razonable: si dos de cada tres son más altos que él, tiene que estar algo por debajo de la media.

c) Primero la probabilidad de que un estudiante mida más de 170 cm:$$z = \frac{170 - 174}{12} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33$$$$P(X > 170) = P(Z > -0{,}33) = P(Z < 0{,}33) = 0{,}6293$$(por simetría, la cola derecha de $-0{,}33$ es igual a la cola izquierda de $0{,}33$). En una muestra de 1000 estudiantes, el número esperado de los que miden más de 170 cm es$$1000\cdot 0{,}6293 = 629{,}3 \approx 629 \text{ estudiantes}$$