Rectas y planos

De la ecuación continua de $r$:$$P_r = (0, 1, -1) \in r, \qquad \vec u = (3, -1, 2)$$y de la ecuación de $\pi$, su vector normal es $\vec n = (1, 1, -1)$.

a) Producto escalar del director de $r$ por el normal de $\pi$:$$\vec u \cdot \vec n = 3\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-1) = 3 - 1 - 2 = 0$$Luego $\vec u \perp \vec n$: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Sustituimos el punto $P_r$ en la ecuación de $\pi$:$$0 + 1 - (-1) = 2 \neq 3 \;\Longrightarrow\; P_r \notin \pi$$Como la recta es paralela al plano y tiene un punto fuera de él, la recta y el plano son paralelos: no se cortan.

También se ve con las paramétricas de $r$, $(x, y, z) = (3t,\ 1 - t,\ -1 + 2t)$: al sustituir en $\pi$ queda $3t + (1 - t) - (-1 + 2t) = 2$, es decir, $2 = 3$, una ecuación sin solución en $t$.

b) Como $r \parallel \pi$, todos los puntos de $r$ están a la misma distancia de $\pi$, así que tomamos $P_r = (0, 1, -1)$. Con $\pi \equiv x + y - z - 3 = 0$:$$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|0 + 1 - (-1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{\sqrt 3}{3} \approx 0{,}577\ \text{u}$$c) El plano $\sigma$ perpendicular a $r$ tiene como vector normal el director de $r$, $\vec u = (3, -1, 2)$. Por pasar por $(0, 1, -1)$:$$3(x - 0) - (y - 1) + 2(z + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; 3x - y + 2z + 3 = 0$$Comprobación. $(0, 1, -1)$: $0 - 1 - 2 + 3 = 0$ ✓. Como ese punto es justo $P_r$, el plano corta a $r$ en él, perpendicularmente.