Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Integrales

Extremadura · 2025 · Junio

Enunciado

Dadas las funciones

f(x) = 2

g(x) = x^3 + x^2 - 2x

a) (1,25 puntos) Calcular

\displaystyle\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx

.

b) (1,25 puntos) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de

g(x)

y el eje X.

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Resultado

\boxed{\text{a) } \int \frac{2}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx = -\ln|x| + \tfrac{2}{3}\ln|x - 1| + \tfrac{1}{3}\ln|x + 2| + C}

\boxed{\text{b) Área} = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12} \approx 3{,}08\ \text{u}^2}

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Estrategia

En a) hay que integrar la función racional

\dfrac{2}{x^3 + x^2 - 2x}

: el numerador tiene menor grado que el denominador, así que basta con factorizar el denominador y descomponer en fracciones simples; cada fracción da un logaritmo.

En b) la misma factorización da los cortes de

g

con el eje X, que son los límites de integración. Entre cada par de cortes estudiamos el signo de

g

y sumamos los valores absolutos de las integrales de cada tramo (regla de Barrow), porque donde

g

es negativa la integral sale negativa.

Desarrollo

a) Factorizamos el denominador:

g(x) = x^3 + x^2 - 2x = x\,(x^2 + x - 2) = x\,(x - 1)(x + 2)

Tres raíces reales simples, así que buscamos

a

b

c

con

\frac{2}{x(x - 1)(x + 2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x - 1} + \frac{c}{x + 2}

Quitando denominadores:

2 = a(x - 1)(x + 2) + b\,x(x + 2) + c\,x(x - 1)

Damos a

x

los valores de las raíces:

$x = 0$ : $\;2 = a\cdot(-1)\cdot 2 = -2a \Rightarrow a = -1$ .
$x = 1$ : $\;2 = b\cdot 1\cdot 3 = 3b \Rightarrow b = \dfrac{2}{3}$ .
$x = -2$ : $\;2 = c\cdot(-2)\cdot(-3) = 6c \Rightarrow c = \dfrac{1}{3}$ .

Entonces

\int \frac{2}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx = \int\left(-\frac{1}{x} + \frac{2/3}{x - 1} + \frac{1/3}{x + 2}\right)dx

= -\ln|x| + \frac{2}{3}\ln|x - 1| + \frac{1}{3}\ln|x + 2| + C

Comprobación. Al derivar:

-\dfrac1x + \dfrac{2}{3(x - 1)} + \dfrac{1}{3(x + 2)}

; con denominador común

3x(x - 1)(x + 2)

, el numerador es

-3(x^2 + x - 2) + 2(x^2 + 2x) + (x^2 - x) = 6

, y

\dfrac{6}{3x(x-1)(x+2)} = \dfrac{2}{g(x)}

✓.

b) Los cortes de

g

con el eje X son las raíces de

g(x) = x(x - 1)(x + 2) = 0

x = -2, \qquad x = 0, \qquad x = 1

El recinto tiene dos tramos. Miramos el signo de

g

en un punto de cada uno:

En $(-2, 0)$ : $g(-1) = -1 + 1 + 2 = 2 > 0$ , la gráfica va por encima del eje.
En $(0, 1)$ : $g\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac18 + \tfrac14 - 1 = -\tfrac58 < 0$ , la gráfica va por debajo del eje.

Una primitiva de

g

G(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2

con

G(0) = 0

G(-2) = 4 - \dfrac83 - 4 = -\dfrac83

G(1) = \dfrac14 + \dfrac13 - 1 = -\dfrac{5}{12}

. Por la regla de Barrow:

\int_{-2}^{0} g(x)\,dx = G(0) - G(-2) = \frac{8}{3}, \qquad \int_{0}^{1} g(x)\,dx = G(1) - G(0) = -\frac{5}{12}

El área es la suma de los valores absolutos:

\text{Área} = \frac{8}{3} + \left|-\frac{5}{12}\right| = \frac{32}{12} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12} \approx 3{,}08\ \text{u}^2

Si se hubiera integrado de

-2

1

de una vez saldría

\frac83 - \frac{5}{12} = \frac{27}{12}

, que no es el área: el tramo de debajo del eje restaría.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En las fracciones simples, sustituir $x$ por cada raíz del denominador da los coeficientes al momento, sin plantear un sistema. Y no olvides el valor absoluto dentro de los logaritmos ni la constante $C$ .

En el área, el error típico es integrar de $-2$ a $1$ de un tirón: el tramo bajo el eje resta. Parte siempre la integral en los cortes con el eje y suma los valores absolutos.