Derivadas y aplicaciones

El dominio es $\mathbb{R}$ y $f$ es derivable en todo él.

a) Derivamos con la regla del producto (y la de la cadena para $e^{-x}$):$$f'(x) = 1\cdot e^{-x} + (x - 1)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}\,(1 - x + 1) = (2 - x)\,e^{-x}$$Como $e^{-x} > 0$ para todo $x$:$$f'(x) = 0 \iff 2 - x = 0 \iff x = 2$$Estudiamos el signo de $f'$ a cada lado:$f$ es creciente en $(-\infty, 2)$ y decreciente en $(2, +\infty)$. En $x = 2$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que hay un máximo relativo en$$f(2) = (2 - 1)e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}1353 \;\Longrightarrow\; \left(2,\ \frac{1}{e^2}\right)$$No hay mínimos relativos ($f'$ solo se anula en $x = 2$).

b) Derivamos otra vez:$$f''(x) = -1\cdot e^{-x} + (2 - x)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}\,(-1 - 2 + x) = (x - 3)\,e^{-x}$$$$f''(x) = 0 \iff x = 3$$$f$ es cóncava en $(-\infty, 3)$ ($f'' < 0$) y convexa en $(3, +\infty)$ ($f'' > 0$). Como $f''$ cambia de signo en $x = 3$, hay un punto de inflexión en$$f(3) = (3 - 1)e^{-3} = \frac{2}{e^3} \approx 0{,}0996 \;\Longrightarrow\; \left(3,\ \frac{2}{e^3}\right)$$(Con el otro convenio de nombres, que también se usa: convexa $(\cap)$ en $(-\infty, 3)$ y cóncava $(\cup)$ en $(3, +\infty)$; lo que importa es indicar la forma.)

c) La tangente en $x = 1$ es $y = f(1) + f'(1)(x - 1)$, con$$f(1) = 0\cdot e^{-1} = 0, \qquad f'(1) = (2 - 1)e^{-1} = \frac{1}{e}$$$$y = \frac{1}{e}\,(x - 1) \quad\Longleftrightarrow\quad x - e\,y - 1 = 0$$Comprobación. La recta pasa por $(1, 0)$, que es el punto de la gráfica, y tiene pendiente $\frac1e \approx 0{,}37 > 0$, coherente con que $f$ sea creciente en $x = 1 < 2$.