Matrices

a) Calculamos el cuadrado:$$A^2 = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2 & m - m \\ 0 & m^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2 & 0 \\ 0 & m^2 \end{pmatrix}$$$$A^2 - A = \begin{pmatrix} m^2 - m & -1 \\ 0 & m^2 + m \end{pmatrix}$$Igualamos con $B$ elemento a elemento:$$\begin{pmatrix} m^2 - m & -1 \\ 0 & m^2 + m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} m^2 - m = 0 \\ m^2 + m = 2 \end{array}\right.$$La primera da $m(m - 1) = 0$, es decir, $m = 0$ o $m = 1$. La segunda, $m^2 + m - 2 = (m - 1)(m + 2) = 0$, da $m = 1$ o $m = -2$. El único valor común es$$m = 1$$Comprobación. Con $m = 1$: $A^2 - A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = B$ ✓.

b) Calculamos la matriz:$$A + B - I = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m - 1 & 0 \\ 0 & 1 - m \end{pmatrix}$$Su determinante es$$|A + B - I| = (m - 1)(1 - m) = -(m - 1)^2$$que solo se anula para $m = 1$. Por tanto, $A + B - I$ tiene inversa si y solo si $m \neq 1$.

c) Con $m = 2$ (que es distinto de 1, así que la inversa existe):$$C = A + B - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |C| = -1$$Por adjuntos, $C^{-1} = \dfrac{1}{|C|}\,(\operatorname{Adj} C)^t$. Los adjuntos son $C_{11} = -1$, $C_{12} = 0$, $C_{21} = 0$ y $C_{22} = 1$:$$C^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$La matriz es su propia inversa.

Comprobación. $C\cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$ ✓.