Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & -1 & -k \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & k & 1 & 2+k \\ 2 & -1 & -k & 1-k \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} -1 & -k \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - k\cdot\begin{vmatrix} 2 & -k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$$$= (1 - k) - k(-2 + k) + (-2 + 1) = 1 - k + 2k - k^2 - 1 = k - k^2 = k(1 - k)$$$$|A| = 0 \iff k = 0 \ \text{o}\ k = 1$$Caso $k \neq 0$ y $k \neq 1$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $k = 0$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ y $|A| = 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 + 1) - 0 + 2\cdot(-2 + 1) = 2 - 2 = 0$$y el otro menor de orden 3 que contiene a ese menor es $|A| = 0$. Así que $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). De hecho, la tercera ecuación es la segunda menos la primera: $(2x - y) - (x + z) = x - y - z$ y $1 - 2 = -1$.

Caso $k = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$ y $|A| = 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 - 0) - 1\cdot(-2 - 0) + 3\cdot(-2 + 1) = 1 + 2 - 3 = 0$$y el otro menor que contiene al de orden 2 es $|A| = 0$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado.

b) Con $k = 1$ el sistema es compatible indeterminado (apartado a) y nos quedamos con dos ecuaciones independientes, las del menor no nulo (la tercera es combinación de ellas):$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ 2x - y - z = 0 \end{array}\right.$$Sumándolas, $3x = 3$, así que $x = 1$. Entonces $y + z = 2$. Tomando $z = \lambda$ como parámetro, $y = 2 - \lambda$:$$(x, y, z) = (1,\ 2 - \lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. Primera: $1 + (2 - \lambda) + \lambda = 3 = 2 + 1$ ✓. Segunda: $2 - (2 - \lambda) - \lambda = 0 = 1 - 1$ ✓. Tercera: $1 - (2 - \lambda) - \lambda = -1$ ✓.