Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Extremadura · 2025 · Julio

Enunciado

Se sabe que el 30% de una población de la Comarca Villuercas-Ibores-Jara ve el programa de televisión «La Revuelta». La productora El Terrat, empresa encargada de llevar a cabo dicho programa, decide llamar por teléfono, al azar, a 10 personas de esa población:

a) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas.

b) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas.

c) (1 punto) Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa «El Hormiguero» y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que vea los dos programas?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ X \sim B(10;\ 0{,}3):\quad P(X > 8) = 0{,}0001436859 \approx 0{,}0001}

\boxed{\text{b)}\ P(X \ge 1) = 1 - 0{,}7^{10} \approx 0{,}9718}

\boxed{\text{c)}\ P(R \cap H) = 0{,}05}

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Estrategia

En a) y b) se cuenta cuántas de las 10 personas llamadas ven el programa: cada llamada es un ensayo con dos resultados (lo ve o no), con la misma probabilidad

p = 0{,}3

e independiente de las demás, así que el número de personas que lo ven es una binomial

B(10;\ 0{,}3)

. «Más de 8» son 9 o 10; «alguna» se calcula mejor por el complementario (ninguna).

En c) se trabaja con sucesos: «no ve ninguno de los dos» es el contrario de la unión, y la fórmula de la probabilidad de la unión da la intersección.

Desarrollo

a) Sea

X

= «número de personas, de las 10 llamadas, que ven La Revuelta». Como la población es grande y las llamadas son al azar, los ensayos son independientes y

X \sim B(n = 10;\ p = 0{,}3), \qquad P(X = k) = \binom{10}{k}(0{,}3)^k(0{,}7)^{10 - k}

«Más de 8» es

X = 9

X = 10

P(X = 9) = \binom{10}{9}(0{,}3)^9(0{,}7)^1 = 10\cdot 0{,}000019683\cdot 0{,}7 = 0{,}000137781

P(X = 10) = \binom{10}{10}(0{,}3)^{10} = 0{,}0000059049

P(X > 8) = 0{,}000137781 + 0{,}0000059049 = 0{,}0001436859 \approx 0{,}0001

Es un suceso muy poco probable (unas 14 veces de cada 100 000), lógico si solo el

30\ \%

ve el programa.

b) «Alguna» es «al menos una»,

X \ge 1

, cuyo contrario es «ninguna»,

X = 0

P(X = 0) = \binom{10}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^{10} = 0{,}7^{10} \approx 0{,}0282

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}7^{10} \approx 1 - 0{,}0282 = 0{,}9718

c) Sean los sucesos

R

= «ve La Revuelta» y

H

= «ve El Hormiguero», con

P(R) = 0{,}30, \qquad P(H) = 0{,}35, \qquad P(\overline{R} \cap \overline{H}) = 0{,}40

Por las leyes de De Morgan, «no ve ninguno» es el contrario de «ve alguno»:

\overline{R} \cap \overline{H} = \overline{R \cup H}

. Entonces

P(R \cup H) = 1 - P(\overline{R} \cap \overline{H}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60

y de la fórmula de la unión,

P(R \cup H) = P(R) + P(H) - P(R \cap H)

, despejamos:

P(R \cap H) = P(R) + P(H) - P(R \cup H) = 0{,}30 + 0{,}35 - 0{,}60 = 0{,}05

Comprobación con una tabla de doble entrada (en tanto por uno):

	$H$	$\overline{H}$	Total
$R$	$0{,}05$	$0{,}25$	$0{,}30$
$\overline{R}$	$0{,}30$	$0{,}40$	$0{,}70$
Total	$0{,}35$	$0{,}65$	$1$

Todas las filas y columnas suman bien y la casilla

\overline{R} \cap \overline{H}

es el

0{,}40

del enunciado ✓.

Consejo

Antes de calcular, escribe la variable, que es binomial y con qué $n$ y $p$ : es lo que más puntúa. Y lee bien las desigualdades: «más de 8» es $\{9, 10\}$ , no incluye el 8.

«Alguna» o «al menos una» se resuelve casi siempre por el contrario: $1 - P(X = 0)$ , una sola cuenta en lugar de diez. En c), «ninguno de los dos» es $\overline{R \cup H}$ , no $\overline{R \cap H}$ .