Rectas y planos

Datos: $Q_s = (0, 1, -1)$, $\vec{v} = (-4, 3, 0)$, $\vec{n}_\pi = (1, -2, 3)$ y $P = (1, -1, 0)$.

a) El plano $\sigma$ buscado es perpendicular a $s$, así que su vector normal es $\vec{v} = (-4, 3, 0)$. Su ecuación por el punto $P$:$$-4(x - 1) + 3(y + 1) + 0\cdot(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; -4x + 3y + 7 = 0 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv 4x - 3y - 7 = 0$$Comprobación. $P$: $4 + 3 - 7 = 0$ ✓, y el normal $(4, -3, 0)$ es proporcional a $\vec{v}$ ✓. (Al no aparecer $z$, el plano es paralelo al eje $OZ$, como la propia recta es horizontal.)

b) Con el vector $\overrightarrow{Q_sP} = P - Q_s = (1, -2, 1)$:$$\overrightarrow{Q_sP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -4 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 3)\,\vec{i} - (0 + 4)\,\vec{j} + (3 - 8)\,\vec{k} = (-3, -4, -5)$$$$d(P, s) = \frac{|\overrightarrow{Q_sP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{9 + 16 + 25}}{\sqrt{16 + 9 + 0}} = \frac{\sqrt{50}}{5} = \frac{5\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2}\ \text{u} \approx 1{,}41\ \text{u}$$Comprobación con el plano de a). El pie de la perpendicular desde $P$ es el corte de $s$ con $\sigma$. Un punto genérico de $s$ es $(-4\lambda, 1 + 3\lambda, -1)$; en $\sigma$:$$4(-4\lambda) - 3(1 + 3\lambda) - 7 = 0 \;\Longrightarrow\; -25\lambda - 10 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{2}{5}$$El pie es $H = \left(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5}, -1\right)$ y $\overrightarrow{PH} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, -1\right)$, de módulo $\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25} + 1} = \sqrt{2}$ ✓.

c) El ángulo $\alpha$ entre la recta y el plano cumple$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}_\pi|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}_\pi|} = \frac{|-4 - 6 + 0|}{\sqrt{25}\,\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{10}{5\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7} \approx 0{,}5345$$$$\alpha = \operatorname{arcsen}\frac{\sqrt{14}}{7} \approx 32{,}31^\circ$$Se usa el seno (y no el coseno) porque el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{n}_\pi$ es el complementario del que forman la recta y el plano: $\cos(90^\circ - \alpha) = \operatorname{sen}\alpha$. Como $\vec{v}\cdot\vec{n}_\pi \neq 0$, la recta corta al plano (no es paralela), y el ángulo no es nulo.