Matemáticas IIMedio2,5 pts

Integrales

Extremadura · 2025 · Julio

Enunciado

Dadas las funciones

f(x) = x^2 - 4x + 3

g(x) = x + 3

.

a) (1,25 puntos) Calcula la primitiva de

\dfrac{g(x)}{f(x)}

que pase por el punto

(5, 0)

.

b) (1,25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f(x)

g(x)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ F(x) = 3\ln|x - 3| - 2\ln|x - 1| + \ln 2\quad (x > 3)}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \frac{125}{6}\ \text{u}^2 \approx 20{,}83\ \text{u}^2}

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Estrategia

En a) hay que integrar una función racional cuyo denominador tiene dos raíces reales distintas: se factoriza, se descompone en fracciones simples y cada una da un logaritmo. La constante de integración se fija imponiendo que la primitiva valga

0

x = 5

.

En b) se buscan los puntos de corte de la parábola y la recta, se mira cuál va por encima entre ellos y se integra la diferencia con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) Factorizamos el denominador:

x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

, es decir,

x = 1

x = 3

. Así

\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x + 3}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \;\Longrightarrow\; x + 3 = A(x - 3) + B(x - 1)

Dando valores a

x

x = 1:\quad 4 = -2A \;\Longrightarrow\; A = -2, \qquad x = 3:\quad 6 = 2B \;\Longrightarrow\; B = 3

Integramos cada fracción (son inmediatas, de tipo logaritmo):

\int \frac{x + 3}{x^2 - 4x + 3}\,dx = \int \left(\frac{-2}{x - 1} + \frac{3}{x - 3}\right)dx = -2\ln|x - 1| + 3\ln|x - 3| + C

Imponemos que pase por

(5, 0)

F(5) = -2\ln 4 + 3\ln 2 + C = -4\ln 2 + 3\ln 2 + C = -\ln 2 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = \ln 2

Luego

F(x) = 3\ln|x - 3| - 2\ln|x - 1| + \ln 2 = \ln\frac{2\,|x - 3|^3}{(x - 1)^2}

El integrando no está definido en

x = 1

ni en

x = 3

, así que esta primitiva es la que vale en el intervalo

(3, +\infty)

, que es el que contiene a

x = 5

.

Comprobación.

F'(x) = \frac{3}{x - 3} - \frac{2}{x - 1} = \frac{3(x - 1) - 2(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{x + 3}{x^2 - 4x + 3}

✓, y

F(5) = \ln\frac{2\cdot 8}{16} = \ln 1 = 0

✓.

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b) Puntos de corte de las dos gráficas:

x^2 - 4x + 3 = x + 3 \iff x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = 5

Entre

0

5

la recta va por encima de la parábola: por ejemplo, en

x = 1

g(1) = 4 > f(1) = 0

(equivalentemente,

g(x) - f(x) = 5x - x^2 = x(5 - x) > 0

(0, 5)

). El área es

\text{Área} = \int_0^5 \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_0^5 (5x - x^2)\,dx = \left[\frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^5 = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} = \frac{125}{6}\ \text{u}^2

Es decir, unas

20{,}83

unidades cuadradas.

Comprobación. Para una parábola y una recta que se cortan en

x_1

x_2

, con coeficiente principal

1

en la diferencia, el área vale

\frac{(x_2 - x_1)^3}{6} = \frac{5^3}{6} = \frac{125}{6}

✓.

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Consejo

En a), no te quedes en la familia $F(x) + C$ : el enunciado pide una primitiva concreta, la que pasa por $(5, 0)$ . Usa $\ln 4 = 2\ln 2$ para simplificar y que $C$ salga limpia.

En b), antes de integrar di qué función va por encima en el intervalo. Si restas al revés, la integral sale $-\frac{125}{6}$ y un área negativa delata el error.