Derivadas y aplicaciones

La función está definida en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Derivamos con la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{2ax\cdot x^3 - (ax^2 + b)\cdot 3x^2}{x^6} = \frac{x^2\bigl(2ax^2 - 3ax^2 - 3b\bigr)}{x^6} = \frac{-ax^2 - 3b}{x^4}$$a) Las dos condiciones:$$f(1) = 2 \;\Longrightarrow\; \frac{a + b}{1} = 2 \;\Longrightarrow\; a + b = 2$$$$f'(1) = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{-a - 3b}{1} = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3b$$Sustituyendo en la primera: $-3b + b = 2$, así que $b = -1$ y $a = 3$.

Comprobación de que es un máximo. Con $a = 3$, $b = -1$:$$f'(x) = \frac{-3x^2 + 3}{x^4} = \frac{3(1 - x^2)}{x^4}$$Cerca de $x = 1$: para $0 < x < 1$, $f'(x) > 0$ (crece) y para $x > 1$, $f'(x) < 0$ (decrece). Luego en $x = 1$ hay un máximo relativo, y $f(1) = \frac{3 - 1}{1} = 2$ ✓. (También $f''(x) = \frac{6}{x^3} - \frac{12}{x^5}$ da $f''(1) = -6 < 0$.)

b) Con $a = 2$, $b = -2$:$$f(x) = \frac{2x^2 - 2}{x^3}, \qquad f'(x) = \frac{-2x^2 + 6}{x^4} = \frac{-2(x^2 - 3)}{x^4}$$Puntos críticos. $f'(x) = 0 \iff x^2 = 3 \iff x = -\sqrt{3}$ o $x = \sqrt{3}$, ambos en el dominio.

Signo de $f'$. El denominador $x^4$ es positivo para $x \neq 0$, así que el signo de $f'$ es el de $-2(x^2 - 3)$: positivo cuando $x^2 < 3$ y negativo cuando $x^2 > 3$. Teniendo en cuenta que $x = 0$ no está en el dominio:Por tanto, $f$ crece en $(-\sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3})$ y decrece en $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

Extremos. En $x = -\sqrt{3}$, $f'$ pasa de $-$ a $+$: hay un mínimo relativo. En $x = \sqrt{3}$, $f'$ pasa de $+$ a $-$: hay un máximo relativo. Sus ordenadas:$$f(-\sqrt{3}) = \frac{2\cdot 3 - 2}{(-\sqrt{3})^3} = \frac{4}{-3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{9} \approx -0{,}77, \qquad f(\sqrt{3}) = \frac{4}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}77$$Asíntota vertical $x = 0$: el denominador se anula y el numerador tiende a $-2$, así que$$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 - 2}{x^3} = \frac{-2}{0^-} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{2x^2 - 2}{x^3} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$Asíntota horizontal $y = 0$, en $+\infty$ y en $-\infty$, porque el grado del numerador es menor que el del denominador:$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 2}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x^3}\right) = 0$$Asíntota oblicua: no hay, porque ya hay asíntota horizontal en los dos sentidos.

Comprobación de coherencia. La función es impar ($f(-x) = -f(x)$), y así salen los resultados: el mínimo y el máximo son simétricos respecto del origen, igual que la monotonía. Además, junto a $x = 0$ crece hacia $+\infty$ por la izquierda y viene de $-\infty$ por la derecha, como dice el signo de $f'$.