Matrices

a) La traspuesta de $A$ y la matriz pedida son$$A^T = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \qquad M = A^T + I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$Su determinante, por Sarrus:$$|M| = 1\cdot 4\cdot 2 + 2\cdot 3\cdot 3 + 1\cdot 2\cdot 5 - \bigl(1\cdot 4\cdot 3 + 1\cdot 3\cdot 5 + 2\cdot 2\cdot 2\bigr) = 36 - 35 = 1 \neq 0$$luego $M$ es invertible. Los adjuntos $M_{ij} = (-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}$:$$M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -7, \quad M_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 5, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -2$$$$M_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 1, \quad M_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1, \quad M_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 1$$$$M_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 2, \quad M_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1, \quad M_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0$$$$\operatorname{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -7 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; (A^T + I)^{-1} = \frac{1}{1}\operatorname{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} -7 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$Comprobación. $M \cdot M^{-1}$: la primera fila de $M$ por las columnas de $M^{-1}$ da $(-7 + 10 - 2,\ 1 - 2 + 1,\ 2 - 2 + 0) = (1, 0, 0)$, y lo mismo con las otras dos filas da $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ ✓.

b) Pasamos los términos con $X$ a la izquierda y los demás a la derecha:$$A^T X + X = 2B + I \;\Longrightarrow\; (A^T + I)\,X = 2B + I$$(al sacar factor común, $X = I X$, así que $A^T X + X = (A^T + I)X$). Como $A^T + I$ es invertible, multiplicamos por la izquierda por su inversa:$$X = (A^T + I)^{-1}(2B + I)$$$$2B + I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$$$X = \begin{pmatrix} -7 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 3 & -22 \\ -9 & -1 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$Comprobación. $(A^T + I)X$ debe dar $2B + I$. Primera fila: $(15 - 18 + 2,\ 3 - 2 - 1,\ -22 + 26 - 2) = (-1, 0, 2)$ ✓; segunda: $(30 - 36 + 6,\ 6 - 4 - 3,\ -44 + 52 - 6) = (0, -1, 2)$ ✓; tercera: $(45 - 45 + 4,\ 9 - 5 - 2,\ -66 + 65 - 4) = (4, 2, -5)$ ✓.

(En la simulación, $A$ es ya la traspuesta $A^T$, $B$ es $2B + I$ y $\lambda = -1$: la ecuación $A^T X = -X + (2B + I)$ es la misma.)