Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} m & 7 & 5 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 7 & 5 & 0 \\ 1 & m & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$Por la regla de Sarrus:$$|A| = m\cdot m\cdot 1 + 7\cdot 1\cdot 0 + 5\cdot 1\cdot 1 - \bigl(5\cdot m\cdot 0 + m\cdot 1\cdot 1 + 7\cdot 1\cdot 1\bigr) = m^2 + 5 - m - 7 = m^2 - m - 2$$$$|A| = 0 \iff m^2 - m - 2 = 0 \iff (m - 2)(m + 1) = 0 \iff m = 2 \ \text{o}\ m = -1$$Caso $m \neq 2$ y $m \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $m = -1$. El menor formado por las filas 2 y 3 y las columnas de $x$ e $y$ no depende de $m$:$$\begin{vmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$$Con $|A| = 0$, resulta $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada orlamos ese menor con la primera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} -1 & 7 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -1\cdot(2 - 3) - 7\cdot(-2 - 0) + 0 = 1 + 14 = 15 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.

Caso $m = 2$. Igual que antes, $\operatorname{rg}(A) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ y $|A| = 0$). Los dos menores de orden 3 de $A^*$ que contienen a ese menor son $|A| = 0$ y$$\begin{vmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 2\cdot(-4 - 3) - 7\cdot(-2 - 0) + 0 = -14 + 14 = 0$$así que $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro). Por ejemplo, con $z = \lambda$ las soluciones son $x = 7 + \lambda$, $y = -2 - \lambda$, $z = \lambda$.

b) Para $m = 1$ (no crítico: $|A| = 1 - 1 - 2 = -2 \neq 0$) el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} x + 7y + 5z = 0 \\ x + y + z = 3 \\ y + z = -2 \end{array}\right.$$Restando la tercera ecuación a la segunda: $x = 3 - (-2) = 5$. Sustituyendo en la primera, $7y + 5z = -5$, y de la tercera, $y = -2 - z$:$$7(-2 - z) + 5z = -5 \;\Longrightarrow\; -14 - 2z = -5 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{9}{2}, \qquad y = -2 + \frac{9}{2} = \frac{5}{2}$$Comprobación. $\left(5, \tfrac{5}{2}, -\tfrac{9}{2}\right)$: primera, $5 + \tfrac{35}{2} - \tfrac{45}{2} = 5 - 5 = 0$ ✓; segunda, $5 + \tfrac{5}{2} - \tfrac{9}{2} = 3$ ✓; tercera, $\tfrac{5}{2} - \tfrac{9}{2} = -2$ ✓.