Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2025 · Junio

Enunciado

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.

a) (0,75 puntos) Hallar la probabilidad de que sean de distinto color.

b) (0,75 puntos) Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul.

c) (1 punto) Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(\text{distinto color}) = \frac{8}{15} \approx 0{,}5333}

\boxed{\text{b)}\ P(A_2) = \frac{1}{3} \qquad \text{c)}\ P(R_1 \mid A_2) = \frac{4}{5} = 0{,}8}

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Estrategia

Son dos extracciones sin reemplazamiento: la composición de la urna cambia tras la primera, así que las probabilidades de la segunda extracción dependen de lo que salió en la primera. Un diagrama de árbol con las cuatro ramas lo resuelve todo: a) suma dos ramas, b) es la probabilidad total de «segunda azul» y c) es una probabilidad condicionada «hacia atrás», con el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

R_1

A_1

: «la primera bola es roja / azul»;

R_2

A_2

: «la segunda bola es roja / azul».

Diagrama de árbol. Al principio hay

6

bolas (

4

rojas y

2

azules); tras sacar una quedan

5

$R_1$ ( $\frac{4}{6}$ ) → quedan 3 rojas y 2 azules: $P(R_2 \mid R_1) = \frac{3}{5}$ , $P(A_2 \mid R_1) = \frac{2}{5}$
$A_1$ ( $\frac{2}{6}$ ) → quedan 4 rojas y 1 azul: $P(R_2 \mid A_1) = \frac{4}{5}$ , $P(A_2 \mid A_1) = \frac{1}{5}$

Las cuatro ramas:

P(R_1 \cap R_2) = \frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5} = \frac{12}{30}, \qquad P(R_1 \cap A_2) = \frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5} = \frac{8}{30}

P(A_1 \cap R_2) = \frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5} = \frac{8}{30}, \qquad P(A_1 \cap A_2) = \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{30}

(Suman

\frac{30}{30} = 1

✓.)

a) «Distinto color» es roja y azul o azul y roja, sucesos incompatibles:

P(\text{distinto color}) = P(R_1 \cap A_2) + P(A_1 \cap R_2) = \frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15} \approx 0{,}5333

b) Por el teorema de la probabilidad total:

P(A_2) = P(R_1)\,P(A_2 \mid R_1) + P(A_1)\,P(A_2 \mid A_1) = \frac{8}{30} + \frac{2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}

Es la misma probabilidad que la de sacar azul en la primera (

\frac{2}{6}

): sin ver la primera bola, la segunda no tiene por qué comportarse de otra forma.

c) Por el teorema de Bayes:

P(R_1 \mid A_2) = \frac{P(R_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{8/30}{10/30} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0{,}8

Comprobación.

P(A_1 \mid A_2) = \frac{2/30}{10/30} = \frac{1}{5}

\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1

✓. Otra forma de verlo: si la segunda es azul, la primera es una de las otras

5

bolas, de las que

4

son rojas:

\frac{4}{5}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Sin reemplazamiento, la segunda rama del árbol se calcula con la urna ya cambiada: 5 bolas y una menos del color que salió. Usar $\frac{2}{6}$ otra vez en la segunda extracción es el error típico.

En a) no olvides que «distinto color» tiene dos órdenes posibles (roja-azul y azul-roja), y en c) deja claro que es una condicionada: intersección entre la probabilidad de la condición.