Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2025 · Junio

Enunciado

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es

0{,}09

y en día seco

0{,}005

. Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:

a) (1,25 puntos) Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado.

b) (1,25 puntos) Hallar la probabilidad de que fuera en día seco.

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Resultado

\boxed{P(Ac) = 0{,}0305}

\boxed{\text{a)}\ P(N \mid Ac) = \frac{54}{61} \approx 0{,}8852 \qquad \text{b)}\ P(S \mid Ac) = \frac{7}{61} \approx 0{,}1148}

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Estrategia

Es un problema de probabilidad total y Bayes. El día del accidente es uno de los diez, así que la probabilidad de que un día sea nublado es

\frac{3}{10}

y de que sea seco,

\frac{7}{10}

; las probabilidades de accidente que da el enunciado son condicionadas al tipo de día. Con un diagrama de árbol sacamos la probabilidad total de accidente y, con el teorema de Bayes, la probabilidad «hacia atrás»: sabiendo que hubo accidente, de qué tipo era el día.

Desarrollo

Sucesos.

N

= «el día es nublado»,

S

= «el día es seco» (forman un sistema completo de sucesos) y

Ac

= «el autobús sufre un accidente».

Datos.

P(N) = \frac{3}{10} = 0{,}3, \qquad P(S) = \frac{7}{10} = 0{,}7

P(Ac \mid N) = 0{,}09, \qquad P(Ac \mid S) = 0{,}005

Diagrama de árbol.

Nublado ( $0{,}3$ ) → accidente ( $0{,}09$ ): $0{,}3 \cdot 0{,}09 = 0{,}027$
Nublado ( $0{,}3$ ) → sin accidente ( $0{,}91$ ): $0{,}273$
Seco ( $0{,}7$ ) → accidente ( $0{,}005$ ): $0{,}7 \cdot 0{,}005 = 0{,}0035$
Seco ( $0{,}7$ ) → sin accidente ( $0{,}995$ ): $0{,}6965$

Probabilidad total de accidente.

P(Ac) = P(N)\,P(Ac \mid N) + P(S)\,P(Ac \mid S) = 0{,}027 + 0{,}0035 = 0{,}0305

a) Por el teorema de Bayes:

P(N \mid Ac) = \frac{P(N)\,P(Ac \mid N)}{P(Ac)} = \frac{0{,}027}{0{,}0305} = \frac{54}{61} \approx 0{,}8852

b) Análogamente:

P(S \mid Ac) = \frac{P(S)\,P(Ac \mid S)}{P(Ac)} = \frac{0{,}0035}{0{,}0305} = \frac{7}{61} \approx 0{,}1148

Comprobación. Como

N

S

son complementarios, también lo son condicionados a

Ac

\frac{54}{61} + \frac{7}{61} = 1

✓. Tiene sentido que gane el día nublado aunque haya menos: el riesgo de accidente es 18 veces mayor (

0{,}09 / 0{,}005 = 18

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El enunciado da $P(Ac \mid N)$ y pregunta $P(N \mid Ac)$ : no son lo mismo. Identifica bien cuál es la condición («sabiendo que se ha producido un accidente») y usa Bayes.

En b) no hace falta repetir Bayes: basta con $1 - P(N \mid Ac)$ , pero dilo explícitamente (los sucesos son complementarios también condicionados a $Ac$ ).