Rectas y planos

a) De las ecuaciones continuas:$$r:\quad A = (0, 1, 0), \qquad \vec u = (4, -2, 2)$$$$s:\quad B = (1, m, 3), \qquad \vec v = (1, m - 1, 3)$$(Para $m = 1$ el denominador $m - 1$ vale $0$; como es habitual, se interpreta como que la coordenada $y$ no varía y el vector director es $(1, 0, 3)$, que es el mismo $\vec v$ con $m = 1$.)

No son paralelas ni coincidentes. $\vec u$ y $\vec v$ serían proporcionales si$$\frac{1}{4} = \frac{m - 1}{-2} = \frac{3}{2}$$pero ya $\frac{1}{4} \neq \frac{3}{2}$, sea cual sea $m$. Luego $\operatorname{rg}\left(\vec u, \vec v\right) = 2$ para todo $m$.

Están en un mismo plano. El vector que une los dos puntos es$$\overrightarrow{AB} = B - A = (1, m - 1, 3)$$y calculamos el determinante de los tres vectores:$$\det\left(\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}\right) = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 1 & m - 1 & 3 \\ 1 & m - 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$porque tiene dos filas iguales, para cualquier $m$. Así, $\operatorname{rg}\left(\vec u, \vec v, \overrightarrow{AB}\right) = 2 = \operatorname{rg}\left(\vec u, \vec v\right)$: las rectas son coplanarias y no paralelas, luego se cortan en un punto para cualquier valor de $m$.

De hecho se ve cuál es ese punto: como $\overrightarrow{AB} = \vec v$, el punto $A = B - \vec v$ está en $s$ (es el que corresponde a $\mu = -1$). Es decir, $A = (0, 1, 0)$ es común a las dos rectas sea cual sea $m$: todas las rectas $s$ pasan por él.

b) Con $m = 6$, en paramétricas:$$r:\ \left\{\begin{array}{l} x = 4\lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 2\lambda \end{array}\right. \qquad s:\ \left\{\begin{array}{l} x = 1 + \mu \\ y = 6 + 5\mu \\ z = 3 + 3\mu \end{array}\right.$$Igualamos coordenadas:$$\left\{\begin{array}{l} 4\lambda = 1 + \mu \\ 1 - 2\lambda = 6 + 5\mu \\ 2\lambda = 3 + 3\mu \end{array}\right.$$Multiplicando la tercera por $2$: $4\lambda = 6 + 6\mu$. Igualando con la primera, $1 + \mu = 6 + 6\mu$, es decir, $\mu = -1$, y entonces $4\lambda = 0$, $\lambda = 0$. La segunda ecuación se cumple: $1 - 0 = 6 - 5 = 1$ ✓.

Sustituyendo $\lambda = 0$ en $r$ (o $\mu = -1$ en $s$):$$P = (0, 1, 0)$$Comprobación. En $r$: $\frac{0}{4} = \frac{1 - 1}{-2} = \frac{0}{2} = 0$ ✓. En $s$ con $m = 6$: $0 - 1 = \frac{1 - 6}{5} = \frac{0 - 3}{3} = -1$ ✓. Es el punto que ya habíamos visto en a), como debía ser.