Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Castilla y León · 2025 · Junio

Enunciado

Se considera la función

f(x) = 2xe^{-2x^2}

.

a) (1,5 puntos) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.

b) (1 punto) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función

f

y el eje de abscisas en el intervalo

[0,2]

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \operatorname{Dom} f = \mathbb{R};\ \text{decrece en } \left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right) \cup \left(\tfrac{1}{2}, +\infty\right),\ \text{crece en } \left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)}

\boxed{\text{Mín. } \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{\sqrt{e}}\right),\ \text{máx. } \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{\sqrt{e}}\right);\ \text{A.H. } y = 0}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \frac{1 - e^{-8}}{2} \approx 0{,}4998\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la exponencial no se anula nunca, así que el signo de

f'

lo da un polinomio de grado 2: de ahí salen la monotonía y los extremos. Además

f

es impar (

f(-x) = -f(x)

), lo que permite estudiar

+\infty

y obtener

-\infty

por simetría. Asíntotas verticales no hay (la función es continua en todo

\mathbb{R}

); la horizontal sale de un límite

\infty/\infty

con L'Hôpital.

En b) en

[0,2]

la función es

\ge 0

, así que el área es directamente la integral, que es casi inmediata:

2x

es, salvo una constante, la derivada del exponente

-2x^2

Desarrollo

a) Dominio.

2x

e^{-2x^2}

están definidas para todo número real, así que

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}

f

es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

. Además

f(-x) = -2xe^{-2x^2} = -f(x)

: la función es impar (simétrica respecto del origen).

Derivada. Por la regla del producto y la de la cadena:

f'(x) = 2e^{-2x^2} + 2x\cdot e^{-2x^2}\cdot(-4x) = 2e^{-2x^2}\,(1 - 4x^2)

Como

2e^{-2x^2} > 0

siempre, el signo de

f'

es el de

1 - 4x^2

f'(x) = 0 \iff 1 - 4x^2 = 0 \iff x = -\frac{1}{2} \ \text{o}\ x = \frac{1}{2}

	$\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$	$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$	$\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$
Signo de $f'$ (p. ej. $x = -1,\ 0,\ 1$ )	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

(Con

x = 0

1 - 0 = 1 > 0

; con

x = \pm 1

1 - 4 = -3 < 0

$f$ es decreciente en $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ y creciente en $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ .
En $x = -\frac{1}{2}$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, con $f\left(-\frac{1}{2}\right) = -e^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{e}} \approx -0{,}6065$ .
En $x = \frac{1}{2}$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, con $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}6065$ .

Asíntotas verticales. No tiene:

f

es continua en todo

\mathbb{R}

.

Asíntotas horizontales. Escribimos

f(x) = \dfrac{2x}{e^{2x^2}}

; en

+\infty

es una indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

y aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x}{e^{2x^2}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{4x\,e^{2x^2}} = 0

Por ser

f

impar, también

\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = 0

. Luego

y = 0

es asíntota horizontal en

-\infty

y en

+\infty

(y, al haberla en los dos lados, no hay asíntotas oblicuas).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) En

[0,2]

se tiene

x \ge 0

e^{-2x^2} > 0

, así que

f(x) \ge 0

, y solo corta al eje en

x = 0

. La región queda por encima del eje y su área es

\text{Área} = \int_0^2 2xe^{-2x^2}\,dx

Como

\left(-2x^2\right)' = -4x

, ajustamos la constante:

\int 2xe^{-2x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\int (-4x)\,e^{-2x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\,e^{-2x^2} + C

Por la regla de Barrow:

\text{Área} = \left[-\frac{1}{2}\,e^{-2x^2}\right]_0^2 = -\frac{1}{2}\,e^{-8} - \left(-\frac{1}{2}\,e^{0}\right) = \frac{1 - e^{-8}}{2} \approx 0{,}4998 \ \text{u}^2

Comprobación. Derivando la primitiva:

\left(-\frac{1}{2}e^{-2x^2}\right)' = -\frac{1}{2}\cdot e^{-2x^2}\cdot(-4x) = 2xe^{-2x^2}

✓. Y el valor es razonable: la función sube hasta

0{,}61

x = 0{,}5

y casi se anula a partir de

x = 1{,}5

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Consejo

Para el signo de $f'$ , saca factor común la exponencial: es siempre positiva y el estudio se reduce al de $1 - 4x^2$ . Olvidar el factor $-4x$ de la regla de la cadena es el fallo más caro.

En el límite en el infinito, escribe la función como cociente $2x / e^{2x^2}$ antes de aplicar L'Hôpital: con el producto $2x \cdot e^{-2x^2}$ la indeterminación es $\infty \cdot 0$ y no se puede aplicar directamente. Y di explícitamente que no hay asíntotas verticales ni oblicuas.