Matrices

a) Las transpuestas son$$A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$$$$A^tA = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 + 1 \\ 1 + 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$$$BB^t = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$$$M = A^tA - BB^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$Curiosamente, $M$ coincide con la matriz $N$ del apartado b).

b) Dimensiones. $N$ es $2 \times 2$ y $C$ es $3 \times 2$; para que $XN$ exista y sea $3 \times 2$, $X$ tiene que ser $3 \times 2$.

$N$ es invertible, porque$$|N| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0$$Multiplicando por la derecha por $N^{-1}$ los dos miembros de $XN = C$:$$XNN^{-1} = CN^{-1} \;\Longrightarrow\; X = CN^{-1}$$Calculamos la inversa con la matriz adjunta: $N^{-1} = \frac{1}{|N|}\,(\operatorname{Adj} N)^t$, y para una $2 \times 2$ basta con cambiar de sitio los elementos de la diagonal principal y de signo los de la otra:$$N^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$Entonces$$X = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2 & 2 + 2 \\ 1 + 2 & -2 - 2 \\ -2 + 4 & 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$Comprobación.$$XN = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 8 & -6 + 4 \\ 6 - 8 & 6 - 4 \\ 4 + 0 & 4 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = C$$