Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} m & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 2 & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 & m \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = m\,(m - 2) - 2\,(2 - 5) + 1\cdot(4 - 5m) = m^2 - 2m + 6 + 4 - 5m = m^2 - 7m + 10$$$$|A| = 0 \iff m^2 - 7m + 10 = 0 \iff m = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \iff m = 2 \ \text{o}\ m = 5$$Caso $m \neq 2$ y $m \neq 5$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (una única solución).

Caso $m = 2$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} 2x + 2y + z = 1 \\ 2x + 2y + z = 2 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 5 = -3 \neq 0$ (filas 1 y 3, columnas de $x$ y $z$) y $|A| = 0$ dan $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlando ese menor con la fila 2 y la columna de los términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\,(1 - 2) - 1\,(2 - 10) + 1\,(2 - 5) = -2 + 8 - 3 = 3 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (sin solución). Se ve también a simple vista: las dos primeras ecuaciones tienen el mismo primer miembro e igualado a $1$ y a $2$.

Caso $m = 5$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} 5x + 2y + z = 1 \\ 2x + 5y + z = 5 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$La primera y la tercera fila de $A^*$ son iguales, así que $\operatorname{rg}(A^*) \le 2$. Y el menor $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 25 - 4 = 21 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$. Luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

b) Con $m = 3$ (que no es $2$ ni $5$, así que la solución es única):$$\left\{\begin{array}{l} 3x + 2y + z = 1 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$Restando la primera ecuación de la tercera: $2x = 0$, es decir, $x = 0$. Las dos primeras quedan$$\left\{\begin{array}{l} 2y + z = 1 \\ 3y + z = 3 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; y = 2, \quad z = 1 - 2y = -3$$Comprobación. $(0, 2, -3)$: primera, $0 + 4 - 3 = 1$ ✓; segunda, $0 + 6 - 3 = 3$ ✓; tercera, $0 + 4 - 3 = 1$ ✓.